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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼：[ ] 考試科目名稱：泛函分析
一、試卷結構
1) 試卷成績及考試時間
本試卷滿分為 100 分，考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試
3)試卷內容結構
泛函分析 100%
4)題型結構
a: 判斷題， 20 分
b: 填空題， 20 分
c: 計算題， 10 分
d：證明題， 50 分
二、考試內容與考試要求
1、距離空間和賦范線性空間
考試內容
（1）距離空間：距離空間的概念，距離空間中的開集閉集，稠密性與可分
性，連續映射的概念，距離空間中的完備性，列緊集，緊集及其上連續映射，具
體空間列緊集的判定定理，壓縮映射原理及其應用。
（2）賦范線性空間：線性空間、范數、賦范線性空間、Banach 空間等概念，
賦范線性空間上范數的等價性，常見的具體 Banach 空間及其常用的范數的定義。
考試要求
（1）熟悉距離空間的概念和一些具體的距離空間；理解距離空間中的開集
閉集，稠密集與空間的可分性；熟練掌握連續映射的概念、距離空間中的完備性、
列緊集和緊集以及其上連續映射的性質；掌握具體空間列緊集的判定法；熟練掌
握壓縮映射原理，并會用壓縮映射原理分析映射的不動點。
（2）理解線性空間、范數、賦范線性空間等概念；掌握 Banach 空間、線性
賦范空間上范數的等價性；熟悉某些常見 Banach 空間中常用的范數的定義。
2、有界線性算子與連續線性泛函
考試內容
有界線性算子和連續線性泛函的概念和其性質，線性算子空間、共軛（對偶）
空間，某些常見 Banach 空間的共軛空間。
考試要求
掌握有界線性算子和連續線性泛函的概念和其性質，并會計算界線性算子和
連續線性泛函的范數；理解線性算子的連續性和有界性，熟悉算子空間、共軛（對
偶）空間的基本性質和某些常見 Banach 空間的共軛空間。
3、Hilbert 空間
考試內容
內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征、正交系、正規正交基、正交化，
Hilbert 空間的同構，射影定理、Hilbert 空間上的 Riesz 表示定理。
考試要求
熟悉內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征；熟練掌握正交系、正規正
交基、正交化、射影定理；理解 Hilbert 空間的同構、Hilbert 空間上的 Riesz 表
示定理。
4、Banach 空間的基本定理
考試內容
Hahn-Banach 延拓定理及其推論，Riesz 表示定理及應用，共軛算子及其性
質，第一、第二綱的集，綱定理，一致有界定理及應用，開映射定理，閉圖象定
理，弱收斂和弱? 收斂。
考試要求
熟練掌握 Hahn-Banach 延拓定理的推論、Riesz 表示定理、一致有界定理及
應用、開映射定理、閉圖象定理；掌握共軛算子及其性質；理解 Hahn-Banach
延拓定理、第一、第二綱的集；了解弱收斂和弱? 收斂。
教材及主要參考書：
[1] 江澤堅，孫善利， 泛函分析，高等教育出版社。
[2] 程其襄等， 實變函數論與泛函分析基礎， 高等教育出版社。
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