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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼： 考試科目名稱：常微分方程
一、試卷結構
1) 試卷成績及考試時間
考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試
3)試卷內容結構
常微分方程部分
4)題型結構
A: 填空題，6 小題，占 30%
B: 計算題，5 小題，占 50%
C: 證明題, 2 小題，占 20%
二、考試內容與考試要求
1、常微分方程的基本概念
考試內容
常微分方程的導出及基本概念
考試要求
(1) 理解如何用微分方程解決實際問題；了解積分曲線和方向場概念。
(2) 掌握常微分方程定義, 階數, 線性和非線性, 解和隱式解，通解和特
解，方程和方程組，定解條件和定解問題。
2、一階微分方程的初等解法
考試內容
變量分離方程與變量變換、線性方程及常數變易法、恰當方程與積分因子、
一階隱方程與參數表示
考試要求
(1) 掌握變量分離方程的解法，掌握可化為變量分離方程類型的解法，理
解齊次、非齊次概念。
(2) 熟練掌握線性方程的常數變易法。
(3) 掌握積分因子法。
(4) 掌握一階隱方程和貝努利方程的解法。
3、一階微分方程的解的存在定理
考試內容
解的存在唯一性定理與逐步逼近辦法、解的延拓、解對初值的連續性和可
微性定理、奇解
考試要求
(1) 掌握 Picard 逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。
(2) 理解解的延拓，連續性，可微性，唯一性。
(3) 掌握奇解的概念及相關定理。
4、高階微分方程
考試內容
線性常微分方程的一般理論、常系數線性方程的解法、高階方程的講解和
冪級數解法。
考試要求
(1) 熟悉線性微分方程的一般理論，會用常數變易法解非齊線性方程.
(2)掌握常系數線性方程的解法（會區分齊次與非齊次方程解之間的關
系），以及歐拉方程的解法，了解拉普拉斯變換法。
(3)理解掌握高階方程的降階和冪級數解法。
5、線性微分方程組
考試內容
存在唯一性定理、線性微分方程組的一般理論、常系數線性微分方程組。
考試要求
(1)理解存在唯一性定理、掌握線性微分方程組的一般理論。
(2)掌握 Picard 逼近方法，基解矩陣的求法，非齊線性微分方程組的常數
變易公式。
(3)了解矩陣指數的定義及性質、掌握基解矩陣的計算公式及拉普拉斯變
換的應用。
（4）會用消元法求解常系數線性微分方程組。
6、非線性微分方程和穩定性
考試內容
零解的穩定性、相平面、按線性近似決定微分方程組的穩定性，V 函數
方法。
考試要求
(1)掌握零解的幾種穩定性概念，會區分在不同條件下的穩定性。
(2)掌握二維線性微分方程孤立奇點的分類，并畫出相圖。
(3)掌握按線性近似判定奇點的分類與穩定性。
三、參考書目
[1] 《常微分方程》，王高雄編，高等教育出版社
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