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2014 年碩士研究生入學考試大綱
考試科目名稱：高等代數
一、 考試要求：
1.一元多項式理論：
① 掌握多項式的整除理論；
② 會求最大公因式與最小公倍式；
③ 掌握復系數、實系數與有理系數多項式的因式分解理論。
2.行列式理論：
① 理解行列式的定義、熟悉行列式的性質；
② 掌握有特殊結構的 n 階行列式的計算；
③ 會用 Laplace 展開定理。
3. 線性方程組理論：
① 會用 Cramer 法則進行方程組求解；
② 掌握向量的線性相關與線性無關的定義及判別；
③ 掌握線性方程組有解的判別法；
④ 掌握線性方程組解的結構。
4. 矩陣理論：
① 熟悉矩陣的各種運算與運算律；
② 會求矩陣的逆；
③ 理解矩陣分塊與分塊矩陣；
④ 掌握初等矩陣的性質與基本用法；
5. 二次型理論：
①掌握二次型的化簡與標準型；
②掌握正定、半正定矩陣的定義與基本性質；
③熟悉慣性定理。
6. 線性空間理論：
① 掌握線性空間的基底和維數的定義與性質；
② 掌握線性空間基變換與坐標變換；
③ 掌握子空間以及它們的交與直和的性質；
④ 理解線性空間的同構。
7. 線性變換理論：
① 掌握線性變換的運算及其矩陣表示；
② 會求線性變換與矩陣的特征值與特征向量；
③ 掌握相似矩陣與某些矩陣的對角化；
④ 掌握線性變換的值域與核及其性質；
⑤ 理解不變子空間；
⑥ 了解矩陣的 Jordan 標準形。
8. 歐式空間理論：
① 掌握內積空間與歐式空間的定義與性質；
② 掌握正交變換與正交矩陣的性質；
③ 理解對稱變換；
④ 掌握實對稱矩陣及其對角化理論。
二、考試內容：
1) 一元多項式理論
a: 多項式的整除，
b: 最大公因式與最小公倍式，
c: 復系數、實系數與有理系數多項式的因式分解理論。
2) 行列式
a: 行列式的定義、性質與計算，
b: Laplace 展開定理。
3) 線性方程組理論
a: Cramer 法則，
b: 線性相關與線性無關，
c: 線性方程組有解的判別，
d: 線性方程組解的結構。
4) 矩陣
a: 矩陣的各種運算與運算律，
b: 矩陣的逆，
c: 分塊矩陣，
d: 初等矩陣，
5) 二次型
a: 二次型的化簡與標準型，
b: 正定二次型與正定矩陣，半定陣。
6) 線性空間
a: 線性空間的基底和維數，
b: 基變換與坐標變換，
c: 子空間以及它們的交與直和，
d: 線性空間的同構。
7) 線性變換
a: 線性變換的運算及其矩陣，
b: 線性變換與矩陣的特征值與特征向量，
c: 相似矩陣與對角化，
d: 線性變換的值域與核，
e: 不變子空間，
f: Jordan 標準形。
8) 歐式空間
a: 內積空間與歐式空間，
b: 正交變換與正交矩陣，
c: 對稱變換和實對稱矩陣。
三、 試卷結構：
a) 考試時間：180 分鐘，滿分：150 分
b) 題型結構
a:基本概念與理論（含填空、選擇或判斷題）(約 30 分)
b:證明題(約 70 分)
c:計算題(約 50 分)
四、參考書目
《高等代數》，北京大學數學系幾何與代數教研室編，高等教育出版社，2003 年 7 月，
第三版．
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教學秘書： ；聯系電話：
計算數學系
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