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2014 年碩士研究生入學考試大綱
考試科目名稱：數學分析
一、 考試要求：
1.極限與連續：
①. 掌握數列極限和函數極限的基本理論與性質，會用極限的定義與性質證
明或計算一般極限方面的命題．
②. 掌握函數連續性定義與性質，會用函數連續性定義與性質證明相關的命
題和結論．
③. 了解實數的基本定理，會用實數的基本定理證明相關的命題和結論．
2. 一元函數微積分及其應用：
①. 掌握一元函數微分學的基本理論與性質，會用導數的定義與性質討論或
證明相關的命題和結論．掌握一元函數常見的求導方法，會求一元函數各階導數．
②. 掌握導數與微分中值定理及其應用，會用微分中值定理證明相關的命題
和結論．會用導數與微分的基本性質討論函數的單調性，凹凸性，極值．掌握羅
比塔法則，會利用羅比塔法則計算或討論相關的命題和結論．
③. 掌握原函數、不定積分、定積分的概念與性質，掌握常見的不定積分
與定積分計算方法，掌握變上限定積分定義的函數及其求導方法，掌握牛頓－萊
布尼茲公式.
④. 會利用定積分表達或計算一些幾何量與物理量，如平面圖形的面積、平
面曲線的弧長、旋轉體的體積及表面積、質心、變力做功、壓力等．
3. 多元函數微積分學：
①.掌握多元函數的極限和連續的基本理論與性質，偏導數和全微分，鏈式
法則，隱函數存在定理及隱函數求導法則，極值和條件極值．
②. 掌握二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念與性質，掌握格
林公式、高斯公式、斯托克司公式，會利用有關的性質與公式計算或證明相關的
命題和結論．會利用重積分、曲線積分表達或計算一些幾何量與物理量，空間曲
線的弧長、立體的體積、質心、引力等．
4. 級數理論與廣義積分：
①.掌握數項級數、函數項級數、冪級數、傅里葉級數的基本理論與性質，
掌握函數項級數、冪級數、傅里葉級數的各種收斂理論與性質，會利用常見的判
別方法判斷各類級數的斂散性，會利用常見冪級數、傅里葉級數計算數項級數的
和．
②. 掌握一元函數的廣義積分的基本理論與性質，會利用常見的判別方法討
論無窮限廣義積分，無界函數廣義積分，含參變量的廣義積分的斂散性．
③. 理解廣義重積分的基本理論與性質，會計算簡單的廣義重積分．
二、考試內容：
1）極限與連續：
a: 數列極限、函數極限的定義與性質，利用定義與性質證明或計算一般極
限方面的命題．
b:函數連續、一致連續的定義與性質，利用定義與性質證明或計算一般極限
方面的命題．
c: 實數基本定理，閉區間上函數連續的性質及其應用．
2) 一元函數微積分及其應用：
a: 一元函數各階導數的定義與性質，導數與微分中值定理及其應用：微分
中值定理，泰勒公式，函數的單調性，凹凸性，極值，羅比塔法則．利用有關定
義微分學的基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論
b: 一元函數積分及其應用：不定積分，定積分，平面圖形的面積，曲線的
長，旋轉體的體積及表面積、質心．
c: 原函數、不定積分、定積分的概念與性質，不定積分與定積分計算方法，
變上限定積分定義的函數及其求導. 利用有關定義微分學的基本理論與性質，討
論或證明相關的命題和結論
3) 多元函數微積分學：
a: 多元函數的極限和連續的基本理論與性質，偏導數和全微分，鏈式法則，
隱函數存在定理及隱函數求導法則，極值和條件極值．利用有關定義、基本理論
與性質，討論或證明相關的命題和結論．
b: 二重積分、三重積分、曲線積分，曲面積分的定義與性質，格林公式，
高斯公式. 利用有關定義、基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論．
c: 計算多元函數的偏導數和全微分、二重積分、三重積分、曲線積分，曲
面積分．
4) 級數理論與廣義積分：
a: 數項級數、函數項級數、冪級數、傅里葉級數的基本理論與性質，數項
級數、函數項級數、冪級數、傅里葉級數斂散性的判別. 利用有關定義、基本理
論與性質，討論或證明相關的命題和結論．
b: 冪級數的收斂域，將函數展成冪級數或傅里葉級數，計算數項級數的和．
c: 一元函數的廣義積分與廣義重積分的基本理論與性質，判別廣義積分的
斂散性．利用有關定義、基本理論與性質，討論或證明相關的命題和結論．計算
一元函數的廣義積分與簡單的廣義重積分．討論含參變量的廣義積分的性質．
三、試卷結構：
a) 考試時間：180 分鐘，滿分：150 分
b) 題型結構
a:基本概念與理論（含填空、選擇與判斷題）(約 40 分)
b:證明題(約 60 分)
c:計算題(約 50 分)
四、參考書目
1. 《數學分析》（上、下冊），復旦大學數學系：陳傳璋，金福臨，朱學炎，
歐陽光中編，高等教育出版社，2004 年 7 月，第二版．
2. 《數學分析》（上、下冊），郭大鈞，陳玉妹，裘卓明編著，山東科技出
版社，2002 年 8 月，第二版．
負責人： ；聯系電話：
教學秘書： ；聯系電話：
計算數學系
2013-9-23
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