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河南工業大學
碩士研究生入學考試情況介紹
科目名稱：高等代數
科目代碼： 837
《高等代數》考試概要
一、要求和知識點
1. 一元多項式
（1）考試要求
○1 .理解數域的概念。
○2 .掌握一元多項式的運算規律，掌握整除的概念和性質，并會運用帶余除法。
○3 .掌握輾轉相除法，并會求最大公因式，掌握互素的概念和性質。
○4 .掌握不可約多項式的概念和性質，理解因式分解定理。
○5 .掌握重因式的概念和判別。
○6 .理解多項式函數概念，掌握余數定理。
○7 .掌握實系數、復系數和有理系數多項式的因式分解及判別法。
（2）知識點
一元多項式，因式分解，整除，有理系數多項式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩陣
（1）考試要求
○1 .理解行列式的概念和性質。
○2 .掌握常見行列式的計算方法。
○3 .理解矩陣的概念、掌握單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質。
○4 .掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、方陣的冪與方陣的乘積的行列式以及它們的運算規則，
并會進行計算。
○5 .掌握矩陣的初等變換，初等矩陣的概念，并會用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣。
○6 .掌握逆矩陣的概念及性質，以及矩陣可逆的條件，掌握利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。
○7 .熟悉分塊矩陣及其運算。
（2）知識點
行列式的概念和性質，行列式的計算，矩陣的概念、矩陣的加、減、乘等運算，數量矩陣，矩
陣的轉置，矩陣乘積的行列式與秩，逆矩陣，矩陣的分塊，初等矩陣，矩陣的等價，分塊矩陣乘法
的初等變換。
3. 向量組的線性相關性
（1）考試要求
○1 .理解 n 維向量空間，向量的線性組合與線性表示的概念。
○2 .理解線性相關、線性無關的定義，并會應用向量組線性相關，無關的有關性質及判別法。
○3 .理解向量組的極大無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關組及秩。
○4 .理解向量組等價的概念。
○5 .理解矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。
（2）知識點
線性組合，線性相關，線性無關，向量組和矩陣的秩。
4. 線性方程組
（1）考試要求
○1 .了解消元法求解線性方程組。
○2 .理解齊次和非齊次線性方程組的解的特點。
○3 .掌握判定線性方程組解的情況的方法。
○4 .理解線性方程組解的結構。
（2）知識點
消元法,向量空間，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構，基礎解系。
5. 二次型
（1）考試要求
○1 .掌握二次型及其矩陣表示，理解二次型秩的概念。
○2 .掌握合同變換和合同矩陣的概念，理解二次型的標準形，規范形的概念，了解慣性定性及規
范形的唯一性。
○3 .掌握配方法和正交變換法化二次型為標準形的方法。
○4 .掌握正定二次型和正定矩陣的概念及判別。
（2）知識點
線性替換，n 元二次型，標準形，二次型的矩陣，規范形，慣性定理，正定二次型。
6. 線性空間
（1）考試要求
○1 .掌握線性空間定義與性質。
○2 .掌握線性空間的維數，基與坐標的概念和求法。
○3 .理解基變換與坐標變換的概念，會求過渡矩陣。
○4 .理解子空間的概念，掌握子空間的性質及生成的條件。
○5 .掌握兩個子空間的交與和的概念及性質。
○6 .了解線性空間的同構的概念。
（2）知識點
線性空間的定義與簡單性質，維數，基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交
與和，線性空間的同構。
7. 線性變換
（1）考試要求
○1 .理解線性變換的定義和運算。
○2 .掌握線性變換的矩陣求法。
○3 .掌握線性變換或矩陣的特征值與特征向量。
○4 .掌握矩陣的相似對角化問題。
○5 .理解線性變換的值域與核。
○6 .掌握不變子空間的概念和證明方法。
（2）知識點
線性變換的定義，運算，矩陣，線性變換的值域，核，線性變換的矩陣在某組基下的矩陣是對
角矩陣的條件，不變子空間。
8. ? -矩陣
（1）考試要求
○1 .了解多項式矩陣與矩陣多項式的關系，? -矩陣等價與矩陣相似的關系。
○2 .掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計算。
○3 .掌握行列式因子與標準型的對應，初等因子組與 Jordan 標準形的對應。
○4 .掌握 ? -矩陣可逆的定義與判別條件.會計算 ? -矩陣的標準形，復系數矩陣的 Jordan 標準
形。
（2）知識點
? -矩陣的相關概念、等價以及判定；行列式因子、不變因子、初等因子的相關概念與應用；? -
矩陣的標準形與 Jordan 標準形。
9. 歐氏空間
（1）考試要求
○1 .理解歐氏空間的定義及性質。
○2 .理解標準正交基的定義及判別方法。
○3 .理解子空間的定義和正交補的求法。
○4 .掌握正交變換和對稱變換的判別條件。
（2）知識點
歐氏空間的概念，標準正交基，子空間，正交變換，對稱變換。
二、教材及其參考書
[1] 《高等代數》北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編，王萼芳 石生明 修訂，高
等教育出版社，出版年 2003.
[2]《高等代數》王萼芳 編．高等教育出版社，出版年 2009.
[3]《高等代數選講》，張同斌，萬建軍主編，合肥工業大學出版社，2009
河南工業大學
2017 年碩士研究生入學考試試題
考試科目代碼及名稱：837 高等代數 共 2 頁（第 1 頁）
注意：1、本試題紙上不答題，所有答案均寫在答題紙上
2、本試題紙必須連同答題紙一起上交。
一、（15 分）設齊次線性方程組
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
0
0
0
321
321
321
n
n
n
axbxbxbx
bxbxaxbx
bxbxbxax
?
??????
?
?
，其中 2,0,0 ??? nba .
討論 ba, 為何值時，（1）方程組僅有零解？（2）有無窮多解？在有無窮多解時，求出通
解.
二、（15 分）設多項式 )(),( xgxf 互素，證明 1))()(),()(( ?? xgxfxgxf .
三、（15 分）設 A 是 3 階方陣， 21
, XX 分別是 A 的特征值 1，-1 的特征向量，且向量 3
X
滿足 213
XXAX ?? .
（1）證明 321
,, XXX 線性無關；
（2）令 ),,( 321
XXXP ? ，求 APP
1?
.
四、（15 分）設 BA, 是 n 階方陣，滿足 BAAB ? ，求證:
)()()()( ABrBrArBAr ???? ，其中 )( Ar 表示 A 的秩.
五、（15 分）設向量 ? 能由向量組 s
?? ,,1
? 線性表出，但 ? 不能由部分組 11
,, ?s
?? ? 線性
表出. 證明向量組 ??? ,,, 11 ?s
? 與 s
?? ,,1
? 等價.
六、（15 分）設V 為 n 維歐氏空間，證明：
（1）對V 中每個線性變換? ，都存在唯一的共軛變換 *
? ，即存在唯一的線性變換 *
? ，
使對任意 V??? , ，有 ))(,()),((
*
?????? ? ；
（2）? 為對稱變換 ? ?? ?
*
；
考試科目代碼及名稱：837 高等代數 共 2 頁（第 2 頁）
（3）? 為正交變換 I??? ????
**
（恒等變換）.
七、（15 分）設方程組 021
???? n
xxx ? 的解空間為 M ，方程組
n
xxx ??? ?21
的解空間為 N ，求證 NM
n
??? .
八、（15 分）設 A 是實數域上的n 階對稱矩陣，且 AA ?
2
，并且 )1()( nrrAr ??? .
（1）求證 A 是半正定的；
（2）計算 ||
n
AAE ??? ? .
九、（15 分）設 22?
F 是數域 F 上 2 階方陣的全體，線性變換? 在基 22211211
,,, EEEE 下的
矩陣為
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1010
0202
1010
0202
A .即 AEEEEEEEE ),,,(),,,( 2221121122211211
?? ，其中 ij
E 為第 ),( ji -
元素為 1，其余元素全為 0 的 2 階方陣. 分別求? 的像空間 ?Im 和核空間 ?Ker 的維數和
一組基.
十、（15 分）設 nn
F
?
是數域 F 上 n 階方陣的全體，V 是 nn
F
?
的一個非空子集，且滿足以
下條件：
（1）V 中至少有一個非零矩陣；
（2）對V 中任意方陣 BA, ，總有 BA ? 屬于V ；
（3）對V 中任意方陣 A ， nn
F
?
中任意方陣 X ， XAAX , 都屬于V .
證明: nn
FV
?
? .
河南工業大學
2017 年碩士研究生入學考試參考答案及評分標準
考試科目代碼及名稱：837 高等代數 共 5 頁（第 1 頁）
一、解：設齊次線性方程組的系數矩陣為 A ，即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
abbb
babb
bbab
bbba
A
?
?????
?
?
?
.
計算 1
)]()1([||
?
????
n
babnaA ………………………………………………………… 5 分
由克拉默法則知，當 0|| ?A ，即 ba ? 且 bna )1( ?? 時， 0?AX 僅有零解…..8 分
當 ba ? 時，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
000
000
111
?
????
?
?
r
A ，此時 0?AX 的通解為：
i
ni
i
i
cX ??
??
?
?
1
1
，其中， i
c 為任意常數， i
? 為第一個分量為-1，第 1?i 個分量為 1，其余分
量為 0 的向量……………………………………………………………….11 分
當 bna )1( ?? 時，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
0000
1001
0001
0101
0011
?
?
?????
?
?
?
r
A ，此時 0?AX 的通解為：
?cX ? ，其中， c 為任意常數， T
)1,,1( ??? ………………………………………….15 分
二、證明：（反證法）
設 ))()(),()(()( xgxfxgxfxd ?? ，則 )()(|)( xgxfxd ，注意到 )(),( xgxf 互素，
若 1)( ?xd ， 不 妨 設 )(xd 不 可 約 ， 則 )(xd 整 除 )(),( xgxf 中 之
一 ……………………………………………………………………………………….5 分
不妨設 )(xd 不整除 )(xg ，而整除 )(xf ，于是存在 )(1
xh 使得 )()()( 1
xdxhxf ? .
考試科目代碼及名稱：837 高等代數 共 5 頁（第 2 頁）
另 一 方 面 ， 注 意 到 ))()((|)( xgxfxd ? ， 于 是 存 在 )(2
xh 使 得
)()()()( 2
xdxhxgxf ?? ………………………………………………………………….10 分
進一步， ))()()(()()()()( 122
xhxhxdxfxdxhxg ???? ，故 )(|)( xgxd 矛盾….15 分
三、解：（1）由已知 21
, XX 是 A 的對應于不同特征值的特征向量，所以 21
, XX 線性無關，
且 21
XX ? 不再是 A 的特征向量…………………………….………………..…………5 分
并 且 3
X 不 是 A 的 特 征 向 量 . 事 實 上 ， 若 不 然 ， 則 存 在 A 的 特 征 值 ? 使 得
2133
XXXAX ??? ? ，從而 321
XXX ??? 仍為 A 的特征向量，矛盾. 同時說明 3
X 不能
由 21
, XX 線性表出，故 321
,, XXX 線性無關……………………………………..10 分
（2）由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
000
110
101
000
110
101
),,(),,(),,( 321321321
PXXXAXAXAXXXXAAP ，
再由（1）知 P 可逆，故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
000
110
101
1
APP …………………………………………..15 分
四、證明：設 A 的行向量生成的空間為 1
V ， B 的行向量生成的空間為 2
V ， BA ? 的行向
量生成的空間為V ，AB 的行向量生成的空間為 0
V . 由于 BA ? 的行向量可由 A 的行向量
和 B 的 行 向 量 線 性 表 出 ， 故
21
VVV ?? ……..…………………………………………………..……………………..5 分
又由于 AB 的行向量可由 B 的行向量線性表出； BA 的行向量可由 A 的行向量線性表出，
而 BAAB ? ，故 210
VVV ?? …………………………………………………………….10 分
由 維 數 公 式 0212121
d i md i md i md i md i md i md i m VVVVVVVV ??????? ， 又
021
dim)(,dim)(,dim)(,dim)( VABrVBrVArVBAr ????? ，故
考試科目代碼及名稱：837 高等代數 共 5 頁（第 3 頁）
)()()()( ABrBrArBAr ???? …………………………………………………………15 分
五、證明：令 },,,,{},,,,{ 12121
??????? ?
?? ss
BA ?? ，由已知 ? 能由向量組 s
?? ,,1
? 線
性 表 出 ， 得 B 能 由 A 線 性 表
出……………………………………………………………………………………………5 分
另 一 方 面 ， 顯 然 121
,,, ?s
??? ? 均 能 由 B 線 性 表
出…………………………………………….7 分
事實上， s
? 也可以由 B 線性表出. 注意到 ? 能由向量組 s
?? ,,1
? 線性表出，故存在
s
kkk ,,, 21
? ，使得 ss
kkk ???? ???? ?2211
.注意到 ? 不能由部分組 11
,, ?s
?? ? 線性表
出，故 0?s
k .于是 1
1
2
2
1
11
?
?
????? s
s
s
sss
s
k
k
k
k
k
k
k
????? ? .故 s
? 也可以由 B 線性
表出.
綜上可得 A 能由 B 線性表出.
于是， ??? ,,, 11 ?s
? 與 s
?? ,,1
? 等價…………………………………………………….15 分
六、證明：（1）設 n
??? ,,, 21
? 為V 的標準正交基，令
An
??? ??
???
?
,,, 21 ?
T
An
??? ??
???
?
,,,* 21 ?
則 ))(,()),((
*
?????? ? . ………………………………………………………………..3 分
事實上，設 ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
xxx ?? ???? ? ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
yyy ?? ???? ?
,),,,(),,,()( 2121
T
nn
xxxA ?? ????? ?
（ )),(,(),,,(),,,()),(
*
2121
?????? ??
T
n
T
n
yyyAxxx ?? …………………………….6 分
設還有? ，使 ))(,()),((
*
?????? ? ，來證明 *
?? ? . 事實上，令
Bn
??? ??
???
?
,,, 21 ?
有對任意 ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
xxx ?? ???? ? ,),,,)(,,,( 2121
T
nn
yyy ?? ???? ?
T
nn
T
n
T
n
yyyBxxxyyyAxxx ),,,(),,,(),,,(),,,( 21212121
???? ?
考試科目代碼及名稱：837 高等代數 共 5 頁（第 4 頁）
從而 BA
T
? ，進而 *
?? ? ，? 的共軛變換唯一…………………………………………9 分
（2）? 為對稱變換當且僅當 AA
T
? 當且僅當 ?? ?
*
………………………………..12 分
（ 3 ） ? 為 正 交 變 換 當 且 僅 當 A 為 正 交 陣 當 且 僅 當 EAAAA
TT
?? 當 且 僅 當
I?? ????
**
（恒等變換）…………………………………………………………….15 分
七、證明：顯然 nnn
RNMRNRM ???? ,, …………………………………………..2 分
另一方面，設 021
???? n
xxx ? 的系數矩陣為 A ，由 1)( ?Ar 知，其基礎解系中含有 1?n
個向量，故 .1dim ?? nM ………………………………………………………………..5 分
同理，設方程組 n
xxx ??? ?21 的系數矩陣為 B ，由 1)( ?? nBr 知，其基礎解系中含有
1 個向量，故 .1dim ?N …………………………………..……………………………….8 分
又注意到
NM ??? 當且僅當? 為方程組
?
?
?
???
????
n
n
xxx
xxx
?
?
21
21
0
的解當且僅當 0?? ，
于是 NMNM ??? ，且由維數公式知 nNM ?? )dim( …………………………….13 分
綜上得知 NMR
n
?? ………………………………………………………..………….15 分
八、解：（1）由 A 為實對稱矩陣，于是存在正交矩陣 P 以及對角陣 ),,( 1 n
diag ?? ??? 使
得 ??APP
'
， 其 中 i
? 為 A 的 特 征
值……………………………………………………………………………………….….2 分
由 22'
)( ??APP 以及 ???? PAPPAPAPP
'2'2'
)( 知 2
??? ，從而
2
ii
?? ? ，故 0?i
? 或
1.即 A 的特征值都是非負數， A 半正定………………………….……………..10 分
（2）設 n
xxxxf ????? ?
2
1)( ，則 n
AAEAf ???? ?)( .
|))(,),((||)(||)(||)(||| 1
'
n
n
ffdiagfPPfAfAAE ?? ?? ????????? ………..13 分
由 )1()( nrrAr ??? 知有 r 個 i
? 等于 1， rn ? 個 i
? 等于 0，又 1)0(,1)1( ??? fnf ，
故 r
n
n
nffAAE )1()()(|| 1
?????? ?? ?? ………………………………………15 分
考試科目代碼及名稱：837 高等代數 共 5 頁（第 5 頁）
九、解： 2)()dim(Im ?? Ar? ……………………………………………………………..3 分
又 ??
?
?
??
?
?
???
02
02
22)( 211111
EEE? ， ??
?
?
??
?
?
???
10
10
11)( 221212
EEE? ，且
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
10
10
,
02
02
線性無關，故 ??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
10
10
,
02
02
構成 ?Im 的一組基……………………..6 分
2)(4)dim( ??? ArKer ? …………………………………………………………………9 分
解齊次線性方程組 0?AX ，由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
1010
0101
1010
0202
1010
0202
r
A ，
解 得 兩 個 線 性 無 關 的 解
TT
)1,0,1,0(,)0,1,0,1( 21
???? ?? ………………………………………………………….12 分
令 ??
?
?
??
?
? ?
????
?
?
??
?
? ?
??
10
10
),,,(,
01
01
),,,( 22221121121222112111
?? EEEEEEEEEE .則 21
, EE 構成
?Ker 的一組基……………………………………………………………………………15 分
十、證明：由（1）設 nnij
aA ?
? )( 為V 中的一個非零矩陣，不妨設 A 的第 ),( ji -元 0?ij
a .
設 ij
E 為第 ),( ji -元素為 1，其余元素全為 0 的n 階方陣.由（3）知對V 中任意方陣 A ， nn
F
?
中任意方陣 YX , ，XAY 都屬于V ,特別地 ijjjii
ij
EAEE
a
?
1
屬于V .進一步對 ij
E 作初等行變
換和列變換可得 nn
F
?
的一組基 },1|{ njiE ij
?? ，根據初等變換和矩陣乘法的關系又可知
ij
E 作 初 等行 變 換和 列 變換 所得 是 形如 YXE ij 的 矩 陣 ，故 V 包 含 nn
F
?
的 一 組 基
},1|{ njiE ij
?? ………………………………………………10 分
由（3）知對V 中任意方陣 A ， kAkEA ? 都屬于V ，由（2）知對V 中任意方陣
,, CK )( CKCK ???? 屬于V ，即V 對矩陣的加法和數乘矩陣的運算是封閉的.
對 nn
F
?
中任意方陣 B ， ijnji ijnnij
EbbB ? ???
??
,1
)( 屬于V .從而 nn
FV
?
? ………15 分
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