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西安理工大學研究生招生入學考試
《高等代數》考試大綱
科目代碼：850
科目名稱：高等代數
第一部分 課程目標與基本要求
一、課程目標
“高等代數”是數學專業的一門重要基礎課。本課程是數學學生進一步提高專業知識水平提供必需的代數基礎理
論和基本方法，對學生抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力培養，以及后續課的學習起著非常重要的作用。本課
程考查考生對多項式、矩陣、多維空間等的基本概念的理解，對多項式和線性代數特性的基本分析方法
掌握的程度；考查考生基本知識的運用能力。
二、基本要求
“高等代數”課程的任務是研究多項式、行列式、線性方程組、矩陣、矩陣的對角化問題、二次型、線
性空間與線性變換、歐氏空間等的基本概念和基本理論，使學生認識線性代數知識。通過本課程的學習，
學生能運用數學工具正確分析線性系統，使學生具備進一步學習后續課程的理論基礎。
第二部分 課程內容與考核目標
第一章 多項式
1、理解多項式的定義、運算及運算規律
2、掌握整除的概念，整除的性質及帶余除法定理
3、熟練掌握公因式、最大公因式的定義，最大公因式的存在性定理及最大公因式的求法
4、掌握可約多項式、不可約多項式的概念，不可約多項式的性質
5、理解唯一性分解定理及典型分解式
6、了解多項式的導數、求導法則及重因式的定義，多項式的重因式與其導式的關系及多項式無重因式
的充要條件
7、掌握多項式的值，多項式函數，余式定理，一個數是多項式函數的根的充要條件及多項式相等的充
要條件
8、熟練掌握代數基本定理，根與系數的關系，實系數多項式的性質
9、掌握本原多項式，高斯引理
10、熟練掌握艾森斯坦判斷法，整系數多項式有理根的求法
11、了解多元多項式，對稱多項式
第二章 行列式
1、掌握線性方程組與行列式的關系，排列及其逆序，奇、偶排列，對換及其作用，求排列的逆序數
2、熟練掌握 n 階行列式的定義，行列式的基本性質
3、掌握子式和代數余子式，行列式按行（列）展開
4、了解拉普拉斯定理，Vandermonde 行列式
5、熟練掌握計算行列式的若干方法
6、掌握利用克拉默法則求解方程組
第三章 線性方程組
1、掌握線性方程組的初等變換，矩陣的初等變換，利用增廣矩陣的初等變換求方程組的解
2、理解掌握向量空間的定義和簡單性質，向量的線性組合、線性相關、線性無關
3、熟練掌握向量組的等價、極大線性無關組的定義及性質，基與維數的定義及性質
4、熟練掌握矩陣的子式和秩的定義、求法
5、理解掌握線性方程組可解的判別法，線性方程組的通解
6、掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件
7、了解二元高次方程組
第四章 矩陣
1、理解矩陣的運算和運算規律，矩陣的多項式
2、理解矩陣的轉置及其性質
3、熟練掌握可逆矩陣的定義和簡單性質
4、熟練掌握初等矩陣，矩陣可逆的充要條件及可逆矩陣的兩種求法
5、掌握矩陣乘積的行列式和秩，分塊矩陣的運算
第五章 二次型
1、理解二次型的矩陣和秩，二次型與對稱矩陣的一一對應
2、掌握二次型等價與矩陣合同之間的關系，合同變換與初等矩陣的關系，將對稱矩陣通過合同變換化
為對角形矩陣的方法
3、熟練掌握二次型的等價標準形的存在唯一性，實二次型等價標準形的存在唯一性，實數域上對稱矩
陣（二次型）的慣性指標和符號差
4、熟練掌握正定二次型的定義及判斷二次型正定的方法
第六章 線性空間
1、理解集合的定義、表示及集合間的關系，映射、單射、滿射、雙射，恒等映射，合成映射，逆映射
的概念
2、理解線性空間的定義和簡單性質
3、理解基與維數的定義及性質
4、掌握向量的坐標，坐標變換公式，基的過渡矩陣和性質
5、熟練掌握線性子空間的定義及判斷，生成子空間，基的擴充定理
6、熟練掌握子空間的交與和，子空間的直和
7、掌握和的維數公式
8、了解線性空間的同構
第七章 線性變換
1、理解線性變換的定義和簡單性質
2、理解線性變換的運算及其簡單性質
3、熟練掌握線性變換關于某個基的矩陣，向量的象的坐標公式，線性變換與矩陣的同構對應，線性變
換在不同基下的矩陣的相似關系
4、熟練掌握特征值和特征向量的定義及求法
5、熟練掌握相似矩陣的特征多項式的性質，矩陣對角化的定義，屬于不同特征值的特征向量線性無關
6、掌握不變子空間的定義和簡單性質，不變子空間與簡化線性變換的矩陣的關系，線性變換和矩陣可
對角化的充要條件
第八章 ? -矩陣
1、理解 ? -矩陣的概念，? -矩陣的初等變換及在初等變換下的標準形
2、掌握行列式因子、不變因子的概念，等價的? -矩陣與行列式因子、不變因子的關系，? -矩陣可逆
的判定條件
3、熟練掌握矩陣相似的充分必要條件
4、熟練掌握初等因子的概念，初等因子和不變因子的關系，相似矩陣與初等因子、不變因子的關系，
初等因子的求法
5、掌握 Jordan 標準形的理論指導，有理標準形
第九章 歐氏空間和酉空間
1、理解向量的內積，歐氏空間的定義及基本性質，向量的長度、夾角、距離及距離的性質，向量正交
的概念
2、熟練掌握正交向量組的概念及性質，正交化方法，標準正交基，標準正交基的過渡矩陣、正交矩陣
及其簡單性質
3、掌握歐氏空間同構的定義，有限維歐氏空間同構的充要條件
4、掌握正交變換的定義和基本性質
5、熟練掌握子空間之間的正交，向量與子空間的正交，子空間正交的性質，正交補的定義及求法
6、掌握對稱變換的定義，對稱變換和對稱矩陣的關系，將一個 n 階實對稱矩陣通過正交矩陣化為對角
陣的方法及實二次型的標準型
第十章 雙線性函數
1、理解線性函數的概念及簡單性質，對偶空間的定義，線性空間的基、維數與其對偶空間的基、維數
的關系，線性空間的兩組基的對偶基之間的關系
2、掌握雙線性函數的概念，雙線性函數在某組基下的度量矩陣，同一雙線性函數在不同基下的合同關
系，雙線性函數的非退化
3、了解對稱、反對稱雙線性函數的定義，對稱、反對稱雙線性函數與對稱、反對稱矩陣的關系，對稱、
反對稱雙線性函數在某組基下為對角形矩陣
第三部分 有關說明與實施要求
1、考試目標的能力層次的表述
本課程對各考核點的能力要求一般分為三個層次用相關詞語描述：
較低要求——了解；一般要求——理解、熟悉、會；較高要求——掌握、熟練掌握。
一般來說，對概念、原理、理論知識等，可用“了解”、“理解”、“掌握”等詞表述；對計算方法、應用
方面，可用“會”、“應用”、“掌握”“熟練掌握”等詞。
2、命題考試的若干規定
(1)本課程的命題考試是根據本大綱規定的考試內容來確定的，根據本大綱規定的各種比例(每種比例規
定可有 5 分以內的浮動幅度，來組配試卷，適當掌握試題的內容、覆蓋面、能力層次和難易度)。
(2)各章考題所占分數大致如下：
第一章 10％ 第二章 10％ 第三章 10％ 第四章 10％ 第五章 10％ 第六章 10％ 第七章
15％ 第八章 5 ％ 第九章 15％ 第十章 5％
(3)其難易度分為易、較易、較難、難四級，每份試卷中四種難易度，試題分數比例一般為 2：3：3：2。
(4)試卷中對不同能力層次要求的試題所占的比例大致是：“了解(知識”占 15%，“理解(熟悉、能、會)”
占 40%，“掌握，熟練掌握”占 45%。
(5)試題主要題型有證明題、計算解答題等多種題型。
(6)考試方式為閉卷筆試?？荚嚂r間為 180 分鐘，試題主要測驗考生對本學科的基礎理論、基本知識和
基本技能掌握的程度，以及運用所學理論分析、解決問題的能力。試題要有一定的區分度，難易程度要
適當。一般應使本學科、專業本科畢業的優秀考生能取得及格以上成績。
(7)題型舉例
●證明題（由 4－6 個題組成）：50％
1、設： 1
( ) ( ) ( )f x af x bg x? ? ， 1
( ) ( ) ( )g x cf x dg x? ? ，且 0ad bc? ? ，證明 1 1
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))f x g x f x g x? ? ? 。
●計算解答題（由 4－6 個題組成）：50％
1、設 4321
,,, ???? 是 4 維線性空間的一組基，并設線性變換 A 的矩陣如下
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
0001
0000
0001
（1） 求 A 的特征值和特征向量。
（2） 求 A 的值域 AV 及核 KerA, 并分別求它們的一組基。
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