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天津理工大學 2018 年碩士研究生入學考試大綱
一、考試科目：量子力學(804)
二、考試方式：
考試采用筆試形式，考試時間為 180 分鐘，試卷滿分為 150 分。
三、試卷結構與分數比重：
題型主要為填空題、計算題和證明題，其中第 1 題為填空題，30 分，第 2～6 題為
計算題和證明題，共 120 分。
四：考查的知識范圍：
第一章 緒論
以黑體輻射、光電效應、原子結構模型說明經典物理學的困難；光的波粒二象性的
提出；愛因斯坦關系；粒子波粒二象性的提出及其實驗驗證；德布羅意關系；德布羅意
波及其波長的計算。
第二章 波函數和薛定諤方程
1、量子力學中用波函數描寫微觀體系的狀態。
?dzyxzyx ),,(),,(
*
?? 描寫粒子在 zyx ,, 處在體積元 dxdydzd ?? 內的幾率。
2、態疊加原理：如果 n
??? ,...,, 21
是體系的可能態，則它們的線性疊加
???
n
nn
c ? ，
也是體系的一個可能態。換句話說，任意波函數可以按力學量算符的本征函數展開。
3、薛定諤方程：
?????
?
??
)
2
(
2
2
U
t
i
?
?
?
描述微觀體系狀態 ? 隨時間變化的規律。特別是在勢能 U 與時間無關的情況下，則有
定態波函數 )exp( Et
i
?
??? ? 存在，? 滿足定態薛定諤方程
?
?
EU ????? )
2
(
2
2
?
.
定態薛定諤方程是能量算符的本征值方程。
在解定態薛定諤方程時，要用波函數滿足的三個基本條件（連續性、有限性和單值
性）以及規一性來確定相關常數。
4、幾率流密度和幾率密度滿足連續性方程
0????
?
?
J
t
?
.
說明該方程所表述的物理意義；記住符號? 在球面座標中的表示。
5、掌握一維無限深勢阱型題的解法。
6、了解線性諧振子問題的解法，掌握諧振子能量的表示及其與經典振子的區別。
7、何謂隧道效應？該效應是由微觀粒子的波動性所決定的。
第三章 量子力學中的力學量
2
1、 量子力學中的力學量用厄密算符 F? 表示：
（1） 牢記厄密算符的定義。
（2） 掌握厄密算符的性質：
厄密算符的本征值 n
? 是實數；厄密算符的本征函數 n
? 具有正交規一性
mnnm
d ???? ??
*
，
和完全性，即任意函數 )(x? 可以按厄密算符的本征函數 n
? 展開：
）＝連續時， ??? ?? dxcxxcx
n
nn
)()(()()( ?? ??? ,
? ?? dxxxc nn
)()(? ，（連續時 dxxc )(
*
?? ? ?? ? ）.
這表明，體系在任意態 )(x? 下測量力學量 F 得到結果為 n
? 的幾率為
2
n
c 。
2、 力學量的平均值：
2
))()(/())(?)(( n
n
n
cdxxxdxxFxF ??? ??????
??
? .
3、 量子力學中的幾個力學量算符：
（1） 動量算符 p? 的本征值 p 和本征函數
)exp(
)2(
1
2/3
rp
i
p
??
??
??
?
? .
（2） 角動量平方算符 2?L 的本征值 2
)1( ??ll 和本征函數 ),( ??lm
Y .
（3） 掌握角動量 z 分量算符
z
iL z
?
?
?? ? 的本征值和本征函數的解法。
（4） 了解氫原子哈密頓算符 H? 本征函數和本征值的解法及形式：
),()(),,( ????? lmnlnlm
YrRr ? ；
2
22
42
,
2
n
n
eZ
E s
n
?
?? 度簡并。
4、 力學量算符之間的關系：
如果兩個力學量算符滿足
kiFGGFGF ?????]?,?[ ??? ，有
（1） 若 0? ?k ，則兩算符對易它們有共同的本征函數；
（2） 若 0? ?k ，則兩算符不對易，且有測不準關系：
3
4
)()(
2
22 k
GF ??? .
例如，
4
)()(
2
22 ?
??? px ，
4
)()(
2
22 ?
??? tE ，
?
?
4
1
??? t .
第四章 態和力學量的表象
1、態和力學量的表象，實際是指座標表象（即以座標為自變量）中的波函數 ),( tx?
和算符 F? 在任意 Q 表象中的矩陣表述形式。
（1）設（座標表象中的）算符Q? 的本征函數為 )(xu n
，將 ),( tx? 按 )(xu n
展開：
，???
n
nn
xutax )()()(
則 ),( tx? 在 Q 表象中的表述是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)(
)(
)(
1
2
1
ta
ta
ta
n
, )),(),(),(( 21
?? tatata n
，??
?
.
(2)算符 F? 在 Q 表象中的表述是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nmnn
m
m
FFF
FFF
FFF
F
?
????
?
?
21
22221
11211
，其中， dxxuFxuF mnnm
)(?)(
*
?? 。
2、用矩陣表述的量子力學公式：
（1）平均值公式：
???
?
FF .
（2）本征值公式：
??? ?F .
掌握用矩陣方程解本征函數和本征值的方法。
（3） 薛定諤方程：
??
??
H
dt
d
i? .
3、么陣變換：
將一個表象 A 中的態和力學量用么陣矩陣變換到另一個表象 B 的方法：
aSb
?
? 和 FSSF
?
?
'
.
式中的 S 是么陣矩陣，它滿足
4
1??
? SS .
4、狄拉克符號及用之表示的量子力學公式。
第五章 微擾理論
1、 定態微擾理論：
了解體系有微擾時能量和波函數的修正方法。
2、 與時間有關的微擾理論：
了解在周期圍繞下光的吸收和發射的處理方法和光譜線選擇定則的導出。
第六章 散射
1、 知道微分散射截面和總散射界面的意義。
2、 了解量子力學中如何由解薛定諤方程來求散射截面。
第七章 自旋和全同粒子
1、 電子的自旋
（1）、自旋算符
??
2
? ?
?S .
對易關系：
??? ?2??,?? iSiSS ???? ? ；
0?? xyyx
SSSS ，等等， 0?? xyyx
???? 等等。
平方算符：
4
???
2
222 ?
??? zyx
SSS ， 1??? 222
??? zyx
??? .
泡利矩陣：
??
?
?
??
?
?
?
01
10
x
? ， ??
?
?
??
?
? ?
?
0
0
i
i
y
? ， ??
?
?
??
?
?
?
?
10
01
z
? .
(2)自旋函數（考慮電子自旋后）
??
?
?
??
?
?
?
?
??
2
1
.
當電子的自旋與軌道相互作用可以略去時，
)(),,,(),,,,( zz
stzyxtszyx ???? .
Sz 的本征函數：
??
?
?
??
?
?
?
0
1
2
1
? ， ??
?
?
??
?
?
?
1
0
2
1
? .
2、 全同粒子體系：
全同例子的不可區分性，全同性原理，波函數的對稱性。
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