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601 數學分析 考試基本要求
一 實數集與函數
（1）掌握實數的基本性質和確界原理，建立實數集確界概念；（2）理解函數的概念，熟悉與函數性態
有關的一些常見術語。
二 數列極限
（1）理解數列極限的概念 （2）了解收斂數列的性質，理解數列收斂性的判別法。掌握并會證明收斂
數列性質、極限的唯一性、單調性、保號性及不等式性質；（3）掌握并會證明收斂數列的四則運算定理、
迫斂性定理及單調性定理，并會用這些定理求某些收斂數列的極限。
三 函數極限
（1）準確建立函數極限(包括單側極限)概念，理解函數極限的ε －δ ，ε －M 定義；（2）掌握函數極
限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性質等；(3)掌握 Heine 定理與 Cauchy 準
則；(4)掌握兩個重要極限；(5) 掌握無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數的極限。
四 函數的連續性
（1）理解函數在一點連續（含單側連續）的定義；（2）掌握連續函數的局部性質，連續函數的有理運
算性質并能加以證明，熟悉復合函數的連續性和反函數的連續性；(3) 理解初等函數在其有定義的區間上
都是連續的，并能運用連續性的概念以及連續函數的性質加以證明，能熟練運用這一結論求初等函數的極
限；(4)掌握閉區間上連續函數的重要性質，理解其幾何意義，并能在各種有關的具體問題中加以運用。
五 導數和微分
（1）掌握導數與微分概念，了解它們的幾何意義；（2）能熟練運用導數的運算性質和求導法則求函數
的導數（特別是求復合函數的導數）；（3）理解單側導數，可導性和連續性的關系，高階導數的求法；（4）
了解導數的幾何意義，微分在近似計算中的應用。
六 微分中值定理及其應用
（1）理解并掌握中值定理的幾何意義。（2）掌握常用的一些 Taylor 公式；掌握 Taylor 公式中的 Lagrange
余項和 Peano 余項。（3）能靈活運用 L’Hospital 法則處理不定式極限。（4）掌握利用導數性質討論函數
性質的方法。（5）掌握用微分學知識解決應用問題的基本能力，如函數單調性的判定，不等式的證明，
極限問題等。
七 實數的完備性
（1）理解刻劃實數完備性的確界定理、單調有界定理、閉區間套定理、致密性定理、有界覆蓋定理、
Cauchy 收斂原理等幾個等價命題，并且會用確界定理證明一些問題；(2)會用“閉區間套定理”的二分法
證明；“致密性定理”的抽子列法證明，并能證明其它的一些定理；(3)會用單調有界定理與數列極限的
Cauchy 收斂原理來證明一些極限存在與不存在；(4)掌握運用基本定理證明閉區間上連續函數的性質，理
解其證明的思想方法；(5)了解數列的上極限和下極限的概念及其與數列極限的關系。
八 不定積分
(1) 掌握原函數與不定積分的概念；(2) 熟練掌握并能靈活應用基本積分公式；(3) 熟練掌握湊微分
法；（4）掌握換元積分法，特別能較熟練地使用三角代換、根式代換；（5）掌握用分部積分法化不定積
分成代數方程，從而求解不定積分的方法；（7）掌握部分分式法解有理函數的不定積分的方法；（8）能
靈活地處理三角函數的不定積分。
九 定積分
(1)理解定積分的定義及其幾何意義和物理意義；（2）了解達 Darboux 上、下和的性質；（3）掌握
可積的充要條件，并能用以證明三類函數的可積性；（4）掌握定積分的性質，并能進行簡單的推理論證
和計算；（5）掌握積分上限函數的性質，并能在解題中應用這個性質；（6）掌握 Newton－Leibniz 公式，
能熟練地進行積分計算；（7）能綜合運用換元法、分部積分法和定積分的性質進行定積分的計算。
十 定積分的應用
（1）掌握平面圖形的面積、平面曲線的弧長；(2) 掌握已知平行截面面積的立體的體積、旋轉曲面的面
積；(3) 理解微元法；(4) 了解積分在物理中的某些應用、定積分的近似計算。
十一 反常積分
（1）理解兩種類型反常積分的定義、性質；（2）會用定義與性質計算兩種反常積分值；（3）掌握
兩種反常積分收斂的判斷法：比較判別法、Cauchy 判別法、Abel 判別法和 Dirichlet 判別法來判別積分
收斂；（4）能用比較判別法、Cauchy 判別法、Cauchy 收斂原理判別反常積分的斂散性；（5）掌握兩類
積分絕對收斂和條件收斂概念。
十二 數項級數
（1）理解數項級數和數列極限的關系，會用“ -N”語言表述級數收斂或發散。（2）掌握 Cauchy 收
斂原理，能用 Cauchy 原理證明級數收斂與發散，熟練掌握級數的必要條件。（3）掌握正項級數斂散的比
較原則，Cauchy 判別法，達朗貝爾判別法，Cauchy 積分判別法。（4）掌握 Leibniz 判別法，Abel 判別法
和 Dirichlet 判別法，判斷級數的條件收斂。（5）理解級數收斂、絕對收斂、條件收斂之間的關系，了
解絕對收斂和條件收斂級數的主要性質，會對含有一個參數的級數確定其絕對收斂域和條件收斂域。
十三 函數列與函數項級數
（1）能用數項級數收斂判別法討論函數項級數的收斂性，研究函數項級數與函數列收斂域；（2）理
解一致收斂概念，能從定義出發證明函數列或函數項級數的一致收斂和非一致收斂；（3）掌握 Cauchy 收
斂原理，并能應用于判別一致收斂與非一致收斂；（4）掌握各種判別法，研究函數列或函數項級數的一
致收斂性；（5）利用一致收斂性證明極限函數和函數的連續性、可微性與可積性。反過來，從和函數或
極限函數的分析性質研究函數項級數或函數列的一致收斂性（Dini 定理）。
十四 冪級數
（1）掌握求冪級數的收斂半徑的方法，確定收斂區間端點的斂散性；（2）掌握冪級數在收斂區間內的
內閉一致收斂性，冪級數和函數的分析性質；（3）用等比數列求和公式，或通過利用冪級數逐項求導逐
項求積的性質，可化為等比數列求和求出某些冪級數的和函數的初等形式。
十五 Fourier 級數
（1）了解三角級數的正交性，并能在某些積分計算中加以應用；（2）會計算可積函數的 Fourier 系數；
（3）掌握收斂定理的條件與結論，會用收斂定理將以 2 為周期的函數展成 Fourier 級數；（4）掌握奇、
偶函數的 Fourier 級數展開的特點，會將定義在某區間上的函數按要求展成正弦級數或余弦級數；（5）
能利用 Fourier 展開求一些簡單級數的和；（6）了解黎曼－勒貝格引理的內容及它的一些簡單應用。
十六 多元函數的極限和連續
（1）掌握平面點集、鄰域、中心鄰域的表示法；（2）會判別一般平面點集是開集還是閉集，有界還是
無界，是否是區域、開區域、閉區域，會寫出其邊界；（3）了解平面點集的矩形套定理、聚點定理、有
限覆蓋定理，理解它們與直線上有關定理相互關系；（4）掌握平面點列收斂的ε -N 定義及柯西收斂原理；
（5）理解二元函數的概念及幾何意義，并能推廣到多元函數；會確定一般二元函數的定義域及連續范圍；
（6）理解二元函數極限ε -N 定義，會依定義證明不太復雜的二重極限；（7）掌握累次極限概念，能通過
具體反例分析二重極限與累次極限的關系；（8）理解二元函數連續性及一致連續性的定義，會依定義討
論連續性及有關的簡單命題，理解有界閉域上連續函數的性質。
十七 多元函數微分學
（1）掌握偏導數與全微分的定義、復合函數的求導法則；（2）掌握可微的條件、復合函數的全微分、
一階全微分形式不變性、高階偏導數、中值定理、Taylor 公式；（3）理解可微性幾何意義及應用、極值問
題；（4）了解方向導數與梯度。
十八 隱函數定理及其應用
（1）理解隱函數定理的有關概念，及隱函數存在的條件；（2）了解隱函數組，反函數組的有關概念，
理解二元隱函數組存在的條件，了解反函數組存在的條件；（3）掌握隱函數的微分法在幾何方面的應用，
會把實際問題抽象為條件極值并予以解決。
十九 含參量積分
（1）理解含參變量常見積分作為參量的函數，掌握它的連續性、可微性和可積性的條件，并能應用這
些條件討論一些含參量常見積分的有關性質；（2）理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會從定義或 Cauchy
收斂原理出發證明積分的一致收斂性或非一致收斂性；（3）掌握和利用 M－判別法、Dirichlet 判別法、
Abel 判別法，判別一些常見積分的一致收斂性；（4）掌握含參量廣義積分的分析性質：連續性、可微性、
可積性；（5）掌握 Euler 積分的定義、性質、遞推公式及它們之間的關系，并用于計算積分。
二十 曲線積分
（1）掌握第一型曲線積分的定義、第一型曲線積分的計算、第二型曲線積分的定義、第二型曲線積分
的計算；（2）了解第一型曲線積分的意義、第二型 曲線積分的意義、兩類曲線積分的關系。
二十一 重積分
（1）掌握將重積分化為累次積分的計算方法，并會交換積分順序；（2）掌握二重積分的極坐標變換，
三重積分的柱坐標、球坐標、廣義球坐標變換，掌握一些簡單的一般變換，以達到簡化重積分計算的目的；
（3）能正確地使用對稱性；正確地處理被積函數中含有絕對值符號及一般分段函數的重積分計算；（4）
能用重積分計算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質量、重心、轉動慣量等。（5）了解 重積
分。
二十二 曲面積分
（1）掌握第一型曲面積分的概念、幾何意義和計算；（2）理解曲面的側，熟練掌握第二型曲面積分的
定義、物理意義和計算，了解兩類曲面積分的聯系（3）掌握 Gauss 公式與 Stokes 公式；（4）了解場論初
步。
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