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《高等代數》考試大綱-南京理工大學
一．復習參考書
《高等代數》第三版。王萼芳，石生明 修訂，高等教育出版社，2004.5
二．復習要點
第一章 多項式
1． 掌握數域概念，一元多項式運算法則
2． 掌握帶余除法定理，最大公因式概念及求法
3． 掌握不可約多項式概念和因式分解定理
4． 掌握重因式，余數定理，零點定理
5． 掌握復/實系數多項式的因式分解
6． 了解整系數多項式的有理根求法
第二章 行列
1. 掌握排列的逆序數求法和行列式的定義
2. 會用行列式的性質計算行列式的值
3 掌握矩陣的初等變換，并嚴格區分矩陣與行列式的差別，熟練掌握行列式的計算
4. 掌握 Cramer 法則，齊次線性方程有非零解的條件以及行列式乘法
第三章 線性方程組
1．理解線性方程組的消去法，理解 n 維向量概念及運算
2．掌握向量組的線性相關/無關
3．掌握矩陣秩的概念，會用初等變換求矩陣的秩及向量組的極大線性無關組
4．掌握線性方程組有解的判定：線性方程組無解，有唯一解及有無窮多組解的判定
5．掌握線性方程組解的結構：線性方程組解的判定及解的求法
第四章 矩陣
1．理解矩陣的秩及其逆的概念，掌握矩陣乘積的行列式
2．掌握矩陣的逆的存在及求法，分塊矩陣的概念
3．會用初等變換求矩陣的逆，理解初等矩陣的意義及性質
4．分塊矩陣的應用
第五章 二次型
1．掌握二次型的矩陣表示，會用合同變換化二次型為標準形
2．掌握復二次型的規范形及實二次型的慣性定理
3．掌握正/負二次型的等價條件及判定定理
4．熟練掌握二次型的規范形/標準形及正/負定二次型的相關定理
第六章 線性空間
1．了解線性/向量空間的定義及其背景
2．掌握維數、基底、坐標的概念
3．掌握基變換與坐標變換公式，子空間的幾何意義，若干子空間的例子
4．掌握子空間的交與
5．掌握子空間的直和，直和的維數公式第 1 頁
第七章 線性變換
1．掌握線性變換的概念，運算，了解一些線性變換的背景和具體例子
2．掌握線性變換與矩陣的關系，同一線性變換在兩組不同基下所對應的矩陣之間的關系
3．掌握特征值，特征向量以及特征空間的概念，會求特征值，特征向量，掌握特征多項式
的性質包括 Hamilton-Cayley 定理
4．掌握矩陣可對角化的條件及方法，線性變換的值域與零空間的概念及性質
5．掌握不變子空間的概念極其重要性質，了解可將線性空間分解為特征空間的直和
6．了解任意矩陣在復數域上都可相似于 Jordan 標準形
第九章 Euclid 空間
1．掌握 Euclid 空間的概念與基本性質
2．掌握標準正交基與同構的概念，掌握 Schimidt 正交化過程
3．掌握若干正交變換的等價定義，知道子空間與正交補及其簡單的性質
4．掌握如何用正交矩陣化實對稱矩陣為對角形
5．掌握最小二乘法，了解酉空間的定義與性質
第十章 雙線性函數與辛空間
1．掌握線性函數與對偶空間的定義及相應定理
2．掌握線性函數與對偶空間的定義及相應定理
3．掌握雙線性函數的性質及相應定理
4．了解辛空間
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