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華僑大學 2018 年碩士招生考試初試自命題科目試題
（答案必須寫在答題紙上）
招生專業 基礎數學
科目名稱 數學分析 科目代碼 711
一、填空題：（本題共 5 小題，每小題 4 分，滿分 20 分）
1.
1
0
lim
1? ?
?
?
?
n
n
x
dx
x
_______________. 2．
2
1
200
1
lim
1 (1 )
dx
x
?
? ?
?
? ? ?
? = .
3. 寫出曲線
2 2 2
2 2 2
50? ? ? ??
?
? ???
x y z
x y z
在點(3, 4, 5)處的法平面方程為 .
4．交換積分次序
3 2
0
( , )? ?
x
x
dx f x y dy = .
5．設 L 是圓周
cos ,
: 0 2
sin ,
?
??
? ??
??
x t
L t
y t
，則 2
( )??
L
x y ds = .
二、求下列極限（本題共 2 小題，每小題 10 分，共計 20 分）
1.
1 3 (2 1)
lim
2 4 2? ?
?? ?? ?
? ?? ?n
n
n
. 2.
1
1 cos
0
sin
lim ( ) ?
?
x
x
x
x
.
三、計算下列積分（本題共 4 小題，每小題 10 分，共計 40 分）
1. 2
0
1 sin 4
?
?? xdx . 2. 2 2
ln ( 1 )? ?? x x dx .
3. 計算 2 2
4L
xdy ydx
x y
?
?
?? ，其中 L 為以 (1, 0) 為圓心，以R 為半徑的圓周( 1)R 1 并取逆時針方向.
4． 3 3 2
2 2 3( 1)
S
x dydz y dzdx z dxdy? ? ??? ，其中曲面 S 為
2 2
1 , ( 0)z x y z? ? ? ? 的上側.
四、(7 分) 用 Ne - 語言證明： lim 1
? ?
?n
n
n .
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招生專業 基礎數學
科目名稱 數學分析 科目代碼 711
五、（10 分）求函數
, 0
( )
0, 0
x x
f x
x
?
?
? ??
? ?
? ? ??
的傅里葉級數展開式.
六、（10 分）求 2 2
12 16z x y x y? ? ? ? 在圓域 2 2
{ 25}x y? ? 上的最值.
七、（15 分）求冪級數
1
2 1
1
( 1)
2 1
n
n
n
x
n
??
?
?
?
?
? 的收斂域及和函數
八、（10 分）變換
2u x y
v x ay
? ??
?
? ??
可以將
2 2 2
2 2
6 0
z z z
x yx y
? ? ?
? ? ?
? ?? ?
化簡為
2
0
z
u v
?
?
? ?
，求常數a .
九、（10 分）設 f 在[0, )?? 上連續，且 lim ( )
x
f x A
? ??
? ，證明
0
1
lim ( )
x
x
f t dt A
x? ??
?? .
十、（8 分）證明：含參量積分 21
sin
1
y xy
dy
y
??
?
? 在 (0, )?? 上內閉一致收斂.
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