2018年湖南師范大學數學基礎綜合（數學）考研大綱

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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼：考試科目名稱：數學基礎綜合（數學）
一、試卷結構
1) 試卷成績及考試時間
考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試
3)試卷內容結構（各占 25%）
復變函數、空間解析幾何、常微分方程、概率論
4)題型結構
A: 填空題：約占 30%
B: 計算題：約占 50%
C: 證明題：約占 20%
二、考試內容與考試要求
一、復變函數
1、復數與復變函數
考試內容
復數、復平面點集以及復變函數
考試要求
(1) 掌握復數及其運算、幾何表示；
(2) 了解復平面上的點集、區域、曲線、集與集之間的距離，區域的連通
性等相關概念；
(3) 掌握復變函數的極限和連續。
2、解析函數
考試內容
解析函數的概念與柯西——黎曼條件，初等解析函數
考試要求
(1) 理解解析函數的概念，柯西-黎曼條件，函數可微與解析的充要條件；
(2) 掌握常見的初等函數：冪函數，根式函數，指數函數，三角函數，反
三角函數以及一般冪函數與一般指數函數。
3、復變函數積分
考試內容
復積分的概念及其簡單性質，柯西積分定理，柯西積分公式，解析函數與
調和函數的關系。
考試要求
(1) 掌握復變函數積分的定義、基本性質以及復變函數積分的計算；
(2) 理解掌握柯西積分定理及其推廣（單連通，復連通）；
(3) 熟練掌握柯西積分公式及其推論、解析函數的無窮可微性以及一些相
關重要定理；
(4) 了解調和函數概念，掌握解析函數與調和函數的關系。
4、解析函數的冪級數表示法
考試內容
復級數的基本性質，冪級數，解析函數的 Taylor 展式，解析函數零點孤
立性和唯一性。
考試要求
(1) 掌握復級數的基本性質；
(2) 掌握 Abel 定理，冪級數的收斂半徑求法，和函數的解析性，Taylor
展開式，解析函數的級數展開舉例；
(3) 理解掌握解析函數零點的孤立性，解析函數的唯一性定理，最大模原
理。
5、解析函數的羅朗展式與孤立奇點
考試內容
解析函數的洛朗展式，解析函數的孤立奇點，解析函數在無窮點的性質，
整函數和亞純函數。
考試要求
(1) 理解羅朗級數與泰勒級數之間的關系，掌握解析函數在孤立奇點鄰域
內的洛朗展式；
(2) 掌握可去奇點、極點、本性奇點的定義及判別，理解掌握席瓦爾茲引
理，畢卡定理，
(3) 理解掌握解析函數在無窮遠點鄰域的性質，整函數與亞純函數概念及
其簡單性質
6、殘數理論及其應用
考試內容
留數，用留數定理計算實積分，輻角原理及其應用
考試要求
(1) 掌握留數的概念，留數定理，留數的求法以及無窮遠點的殘數；
(2) 熟練掌握利用留數定理計算四種主要類型實積分；
(3) 理解對數留數，掌握輻角原理，儒歇定理及其應用。
7、參考書目
鐘玉泉.復變函數論（第三版）.高等教育出版社，2003
二、空間解析幾何
1、向量代數
向量的基本運算、性質及應用。
考試要求
(1) 理解向量外積和混合積的幾何意義，兩向量的夾角，一向量在它向量
上的射影。
(2) 掌握標架與坐標，向量的線性關系及其判定，向量的線性運算、內積、
外積、混合積和二重外積。
2、空間的平面與直線
考試內容
平面、直線的各種形式的方程，位置關系及度量關系、平面束。
考試要求
(1) 掌握平面與直線的各種形式方程的互化，點到平面的離差，平面劃分
空間問題，三元一次不等式的幾何意義，直線的方向角和方向余弦，
直線的射影式方程。
(2) 平面方程與直線方程，平面束，點與平面、點與直線、平面與平面、
平面與直線、直線與直線的位置關系及其判定及度量關系數值特征及
其計算，兩異面直線間的公垂線方程。
3、常見的曲面
考試內容
柱面、錐面及旋轉曲面的定義與方程，五種典型的二次曲面的定義、方
程、圖形與性質，二次直紋曲面。
考試要求
(1) 了解球面坐標和柱面坐標，用平行截割法研究曲面，雙曲面的漸近錐
面，作簡圖。
(2) 理解曲面與曲線方程的概念，曲面與曲線的坐標式方程與參數方程的
互化，空間圓的方程，曲線族生成曲面，直線與球面、平面與球面的
位置關系，母線平行于坐標軸的柱面方程、錐面方程的特點，用析因
式法討論曲面的直母線。
(3) 掌握球面，柱面，錐面，旋轉曲面，橢球面，單葉雙曲面和雙葉雙曲
面，橢圓拋物面和雙曲拋物面，單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。
4、二次曲面的一般理論
考試內容
空間直角坐標變換、二次曲面的中心與漸近方向、徑面、切線和切平面、
化簡與分類及二次曲面的不變量。
考試要求
(1) 了解二次曲面的的不變量，二次曲面外一點處的切錐面，二次曲面的
分類
(2) 理解二次曲面與直線的位置關系，二次曲面方程的化簡，平面直角坐
標變換。
(3) 掌握空間直角坐標變換，二次曲面的漸近方向和中心，二次曲面的徑
面和奇向，二次曲面的主徑面與主方向，二次曲面的切線和切平面。
5、參考書目
《空間解析幾何》，李養成編著，科學出版社
三、常微分方程
1、常微分方程的基本概念
考試內容
常微分方程的導出及基本概念
考試要求
(1) 理解如何用微分方程解決實際問題；了解積分曲線和方向場概念。
(2) 掌握常微分方程定義, 階數, 線性和非線性, 解和隱式解，通解和特
解，方程和方程組，定解條件和定解問題。
2、一階微分方程的初等解法
考試內容
變量分離方程與變量變換、線性方程及常數變易法、恰當方程與積分因子、
一階隱方程與參數表示
考試要求
(1) 掌握變量分離方程的解法，掌握可化為變量分離方程類型的解法，理
解齊次、非齊次概念。
(2) 熟練掌握線性方程的常數變易法。
(3) 掌握積分因子法。
(4) 掌握一階隱方程和貝努利方程的解法。
3、一階微分方程的解的存在定理
考試內容
解的存在唯一性定理與逐步逼近辦法、解的延拓、解對初值的連續性和可
微性定理。
考試要求
(1) 掌握 Picard 逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。
(2) 理解解的延拓，連續性，可微性，唯一性。
4、高階微分方程
考試內容
線性常微分方程的一般理論、常系數線性方程的解法、高階方程的講解和
冪級數解法。
考試要求
(1) 熟悉線性微分方程的一般理論，會用常數變易法解非齊線性方程.
(2)掌握常系數線性方程的解法（會區分齊次與非齊次方程解之間的關
系），以及歐拉方程的解法，了解拉普拉斯變換法。
(3)理解掌握高階方程的降階和冪級數解法。
5、線性微分方程組
考試內容
存在唯一性定理、線性微分方程組的一般理論、常系數線性微分方程組。
考試要求
(1)理解存在唯一性定理、掌握線性微分方程組的一般理論。
(2)掌握 Picard 逼近方法，基解矩陣的求法，非齊線性微分方程組的常數
變易公式。
(3)了解矩陣指數的定義及性質、掌握基解矩陣的計算公式及拉普拉斯變
換的應用。
（4）會用消元法求解常系數線性微分方程組。
6、參考書目
《常微分方程》，王高雄編，高等教育出版社
四、概率論
1、隨機事件及其概率
考試內容
事件的概念及其運算，概率的概念及其性質、計算
考試要求
（1）理解隨機事件的概念、概率的定義。
（2）掌握隨機事件的運算法則、概率的性質及其應用。
（3）理解條件概率的概念，掌握條件概率的計算公式；能利用乘法公式
和事件的獨立性計算積（交）事件的概率；能利用全概率公式和貝
葉斯公式計算有關的概率問題；理解 n 重獨立試驗及 n 重貝努里
（Bernoulli）試驗的含義，并會利用二項概率公式計算在 n 重貝努
里試驗中，事件 A 恰好出現 k 次的概率。
2、隨機變量及其分布
考試內容
隨機變（向）量的概念、分布與數字特征、隨機變量間的獨立性
考試要求
（1）理解隨機變（向）量的概念；掌握一般隨機變（向）量、離散型
隨機變（向）量和連續型隨機變（向）量的分布的描述方法、性
質及其應用。會應用概率分布計算有關事件的概率。
（2）掌握二項分布、泊松分布、均勻分布、正態分布、指數分布、伽
瑪分布、貝塔分布的概率分布、數學期望和方差；利用切比曉夫
不等式估計有關事件的概率；會求隨機變量的簡單函數的分布；
求給定分布的其他數字特征。
（3）理解隨機變（向）量間的獨立性，掌握其判別方法。掌握獨立性
的應用。
3、隨機變（向）量的數字特征
考試內容
隨機變（向）量的數字特征
考試要求
（1）理解隨機變（向）量數字特征的概念；掌握離散型隨機變（向）
量和連續型隨機變（向）量的數字特征計算方法、性質及其應用。
（2）掌握二項分布、泊松分布、均勻分布、正態分布、指數分布、伽
瑪分布、貝塔分布的概率分布、數學期望和方差；利用切比曉夫
不等式估計有關事件的概率；會求隨機變（向）量函數的數字特
征；求給定分布的其他數字特征。
4、大數定律及中心極限定理
考試內容
隨機變量序列的依概率收斂、依分布收斂，大數定律、中心極限定理
考試要求
（1）理解依概率收斂、依分布收斂的概念掌握常用判別方法。
（2）理解大數定律、中心極限定理的概念，掌握其常用判別方法與應
用，能證明給定的隨機變量序列服從大數定理；掌握欣欽大數定
律、馬爾科夫大數定律及其應用；掌握林德伯格一列維中心極限
定理（獨立同分布的中心極限定理）和德莫佛—拉普拉斯定理（二
項分布以正態分布為極限分布）及一般的獨立不同分布中心極限
定理及其應用。
5、參考書：
茆詩松，程依明，濮曉龍，《概率論與數理統計教程》，高等教育出版社，2004

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