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河南工業大學
2017 年碩士研究生入學考試試題
考試科目代碼及名稱：617，數學分析 共 2 頁（第 1 頁）
注意：1、本試題紙上不答題，所有答案均寫在答題紙上
2、本試題紙必須連同答題紙一起上交。
一、(48 分，每小題 8 分) 計算下列各題：
1. 3
1
x
dx
x?
? .
2.
2
1 sin
lim
2
1 sin
x
x
x
x
? ?
? ?
?? ?
? ?
? ??
? ?
.
3.
2
1
4 2
1
lim cos n
n
n e
n
?
? ? ?
? ?
?? ?? ?
? ?
.
4.
sin
0
0
( )
lim
1 cos
t
t
f t x dx
t?
?
?
?
，其中 )(xf 連續，且 (0) 0f ? , (0)f ? =1.
5. 設 ( , sin )
x
u f x y e y? ? ，求
2
u
x y
?
? ?
（其中 f 具有二階連續偏導數）.
6. 設冪級數
1
1
2
n
n
n
x
a
?
?
?? ?
? ?
? ?
? 在 2x ? ? 處條件收斂，求其收斂半徑．
二、(60 分，每小題 10 分) 完成下列各題：
1. 方程 ?? sinrrx ?? , cosy r r ?? ? (0 2 )? ?? ? 表示旋輪線的一拱.求其長.
2. 已知曲面
2 2
4z x y? ? ? 上點 P 處的切平面平行于平面 2 2 1 0x y z? ? ? ? ，求點 P 的坐
標及過該點的法線方程．
3.討論方程
0
ln 1 cos 2
x
x x dx
e
?
? ? ?? 在區間(0, )?? 內實根個數．
4. 將函數
1
( ) ln
2
f x x
x
= +
+
在 1x = 處展成冪級數．
共 2 頁（第 2 頁）
5.計算曲面積分
3 3 3
S
I x dydz y dzdx z dxdy? ? ???? ，其中S 為單位球面的外側.
6.試討論函數
,
( )
,
x x
f x
x x
?
? ?
??
為 有 理 數
為 無 理 數
的連續性.
三、(42 分) 證明下列各題
1. (10 分)敘述數列極限的 N? ? 定義，并用定義證明
2
2
3 2 3
1
3 5
limn
n n
n n? ?
? ?
?
? ?
.
2. (10 分)設 ( )f u 為連續偶函數，試證明
2
0
( ) 2 [2 ] ( )
a
D
f x y dxdy a u f u du? ? ??? ? ，
其中 D 為正方形： ,x a y a? ? ．
3. (10 分)設 ( )f x 在[0, 4] 上連續，在 (0, 4) 上可導，假定 (0) 1f = ，且
(1) (2)f f? (3) (4) 2f f? ? ? ，證明存在一點 (0, 4)? ? ，使 ( ) 0f ?
?
? ．
4.(12 分)設 ( )f x 在[1, )?? 上連續，當 x ? ?? 時， ( )y f x= 以 y kx b= + 為漸近線，
證明 ( )f x 在[1, )?? 上一致連續．
河南工業大學
2016 年碩士研究生入學考試參考答案及評分標準
考試科目代碼及名稱： 617，數學分析
二、(48 分，每小題 8 分) 計算下列各題：
1. 3
1
x
dx
x?
? .
解 設 6
,x t? 則
3
1
x
dx
x?
? =
8
2
1
t
dx
t?
?
4.
2
1 sin
lim
2
1 sin
x
x
x
x
? ?
? ?
?? ?
? ?
? ??
? ?
.
3.
2
1
4 2
1
lim cos n
n
n e
n
?
? ? ?
? ?
?? ?? ?
? ?
.
4.
sin
0
0
( )
lim
1 cos
t
t
f t x dx
t?
?
?
?
，其中 )(xf 連續，且 (0) 0f ? , (0)f ? =1.
5. 設 ( , sin )
x
u f x y e y? ? ，求
2
u
x y
?
? ?
（其中 f 具有二階連續偏導數）.
6. 設冪級數
1
1
2
n
n
n
x
a
?
?
?? ?
? ?
? ?
? 在 2x ? ? 處條件收斂，求其收斂半徑．
二、(60 分，每小題 10 分) 完成下列各題：
1. 方程 ?? sinrrx ?? , cosy r r ?? ? (0 2 )? ?? ? 表示旋輪線的一拱.求其長.
2. 已知曲面
2 2
4z x y? ? ? 上點 P 處的切平面平行于平面 2 2 1 0x y z? ? ? ? ，求點 P 的坐
標及過該點的法線方程．
3.討論方程
0
ln 1 cos 2
x
x x dx
e
?
? ? ?? 在區間(0, )?? 內實根個數．
4. 將函數
1
( ) ln
2
f x x
x
= +
+
在 1x = 處展成冪級數．
5. 3 3 3
S
I x dydz y dzdx z dxdy? ? ???? ，其中S 為單位球面的外側.
6. 試討論函數
,
( )
,
x x
f x
x x
?
? ?
??
為 有 理 數
為 無 理 數
的連續性.
三、(42 分) 證明下列各題
1. (10 分)敘述數列極限的 N? ? 定義，并用定義證明
2
2
3 2 5
1
3 3
limn
n n
n n? ?
? ?
?
? ?
.
2. (10 分)設 ( )f x 在[1, )?? 上連續，當 x ? ?? 時， ( )y f x= 以 y kx b= + 為漸近線，
證明 ( )f x 在[1, )?? 上一致連續．
3. (10 分)設 ( )f u 為連續偶函數，試證明
2
0
( ) 2 [2 ] ( )
a
D
f x y dxdy a u f u du? ? ??? ? ，
其中 D 為正方形： ,x a y a? ? ．
4. (12 分)設 ( )f x 在區間[0,1] 上連續，在 (0,1) 內有二階導數，且
1
0
(0) (1) 0, ( ) 0, ( ) 0f f f x f x dx
??
? ? ? ?? ．
證明：(1) 函數 ( )f x 在 (0,1) 內恰有兩個零點；
(2) 至少存在一點 (0,1)? ? ，使得
0
( ) ( )f f x dx
?
?
?
? ? ．
第一章 實數集與函數
§1 實數
(一) 教學目的：1 掌握實數的各條性質，掌握實數的基本概念和最常見的不等式。
(二) 教學內容：實數的基本性質和絕對值的不等式．
基本要求：實數的有序性，稠密性，阿基米德性．實數的四則運算．
(三) 教學建議：
(1) 本節主要復習中學的有關實數的知識．
(2) 講清用無限小數統一表示實數的意義以及引入不足近似值與過剩近似值的作用．
§2 數集.確界原理
(一) 教學目的：掌握實數的區間與鄰域概念，集合的有界性概念，初步理解上下確界的定義
及確界原理的實質.
(二) 教學內容：實數的區間與鄰域；集合的上下界，上確界和下確界；確界原理．
(1)基本要求：掌握實數的區間與鄰域概念；分清最大值與上確界的聯系與區別；結合
具體集合，能指出其確界；
(2)較高要求：能用定義證明集合的上（下）確界．
(三) 教學建議：
(1) 本節重點是確界概念和確界原理．不可強行要求一步到位，對多數學生可只布置證
明具體集合的確界的習題．
(2) 本節難點亦是確界概念和確界原理．對較好學生可布置證明抽象集合的確界的
§3 函數概念
(一) 教學目的：掌握函數概念和函數的不同的表示方法．
(二) 教學內容：函數的定義與表示法；復合函數與反函數；初等函數．
基本要求：正確理解和掌握函數的概念和性質,了解四則運算,復合函數,反函數的定義.
掌握初等函數的性質,了解幾個常見非初等函數（比如狄利克萊函數、黎曼函數等）的
定義及性質.
(三) 教學建議：
通過狄利克萊函數和黎曼函數，使學生對函數的認識從具體上升到抽象．
§4 具有某些特性的函數
(一) 教學目的：掌握函數的有界性，單調性，奇偶性和周期性．
(二) 教學內容：有界函數，單調函數，奇函數，偶函數和周期函數．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是通過對函數的有界性的分析，培養學生了解研究抽象函數性質的方法．
(2) 本節的難點是要求用分析的方法定義函數的無界性.
第二章 數列極限
§1 數列極限概念
(一) 教學目的：掌握數列極限概念，學會證明數列極限的基本方法．
(二) 教學內容：數列極限．
(1)基本要求：正確理解和掌握數列極限的嚴格定義.懂得數列極限的分析定義中 與
的關系，學會用數列極限的 定義證明極限．
(2)較高要求：學會若干種用數列極限的分析定義證明極限的特殊技巧．
(三)教學建議：
(1) 本節的重點是數列極限的分析定義，要強調這一定義在數學分析中的重要性．
(2) 本節的難點仍是數列極限的分析定義．對較好學生可要求他們用數列極限的分析定
義證明較復雜的數列極限，還可要求他們深入理解數列極限的分析定義．
§2 收斂數列的性質
(一) 教學目的：掌握數列極限的主要性質.會運用四則運算定理, 兩邊夾定理,計算極限，
能用海因定理證明極限不存在.
(二) 教學內容：數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法
則和數列的子列及有關子列的定理．
(1)基本要求：理解數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運
算法則，并會用其中某些性質計算具體的數列的極限．
(2)較高要求：掌握這些性質的較難的證明方法，以及證明抽象形式的數列極限的方法．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是數列極限的性質的證明與運用．對多數學生可重點講解其中幾個性質
的證明，多布置利用這些性質求具體數列極限的習題．
(2) 本節的難點是數列極限性質的分析證明．對較好的學生，要求能夠掌握這些性質的
證明方法，并且會用這些性質計算較復雜的數列極限，例如： ，等．
§3 數列極限存在的條件
(一) 教學目的：掌握單調有界定理，理解柯西收斂準則．
(二) 教學內容：單調有界定理，柯西收斂準則．
(1)基本要求：掌握單調有界定理的證明，會用單調有界定理證明數列極限的存在性 ．理
解柯西收斂準則的直觀意義．
(2)較高要求：會用單調有界定理證明數列極限的存在性，會用柯西收斂準則判別抽象
數列（極限）的斂散性．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是數列單調有界定理．對多數學生要求會用單調有界定理證明數列極限
的存在性．
(2) 本節的難點是柯西收斂準則．要求較好學生能夠用柯西收斂準則判別數列的斂散
性．
第三章 函數極限
§1 函數極限概念
(一) 教學目的：正確理解和掌握函數極限的嚴格定義.左右極限定義，掌握極限與左右極限
的關系，能夠用分析定義證明和計算函數的極限．
(二) 教學內容：函數各種極限的分析定義．
基本要求：掌握函數極限的分析定義，并且會用函數極限的分析定義證明和計算較簡
單的函數極限．
(三) 教學建議：
本節的重點是各種函數極限的分析定義．對多數學生要求主要掌握函數極限的分析定
義，并用函數極限的分析定義求函數的極限．
§2 函數極限的性質
(一) 教學目的：掌握函數極限的性質．
(二) 教學內容：函數極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法
則．
(1)基本要求：掌握函數極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則
運算法則，并會用這些性質計算函數的極限．
(2) 較高要求：理解函數極限的局部性質，并對這些局部性質作進一步的理論性的認識．
(三) 教學建議：
(1)本節的重點是函數極限的各種性質．由于這些性質類似于數列極限中相應的性質，
可著重強調其中某些性質與數列極限的相應性質的區別和聯系．
(2) 本節的難點是函數極限的局部性質．對較好學生，要求懂得這些局部的 （的大小）
不僅與 有關，而且與點 有關，為以后講解函數的一致連續性作準備．
§3 函數極限存在的條件
(一) 教學目的：掌握函數極限的歸結原理和函數極限的單調有界定理，理解函數極限的柯西
準則．
(二) 教學內容：函數極限的歸結；函數極限的單調有界定理；函數極限的柯西準則．
(1) 基本要求：掌握函數極限的歸結，理解函數極限的柯西準則．
(2) 較高要求：能夠寫出函數各種極限的歸結原理和柯西準則．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是函數極限的歸結原理．要著重強調歸結原理中數列的任意性．
(2) 本節的難點是函數極限的柯西準則．要求較好學生能夠熟練地寫出和運用函數各種
極限的歸結原理和柯西準則．
§4 兩個重要的極限
(一) 教學目的：掌握兩個重要極限：
(二) 教學內容：兩個重要極限：
(1) 基本要求：掌握 證明方法，利用兩個重要極限計算函數極限與數列極限．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是與兩個重要的函數極限有關的計算與證明．
(2) 本節的難點是利用迫斂性證明 ．
§5 無窮小量與無窮大量
(一) 教學目的：掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．
(二) 教學內容：無窮小量與無窮大量，高階無窮小，同階無窮小，等階無窮小，無窮大．
(1) 基本要求：掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．
(2) 較高要求：能夠寫出無窮小量與無窮大量的分析定義，并用分析定義證明無窮小量
與無窮大量．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．
(2) 本節的難點是熟練運算．
第四章 函數的連續性
§1 連續性概念
(一) 教學目的：掌握函數連續性概念．
(二) 教學內容：深刻理解函數連續,函數左右連續,區間上函數連續,間斷點及其分類等概念.
對一
般的函數特別是初等函數可以討論其間斷點并且分類.
(1) 基本要求：掌握函數連續性概念，可去間斷點，跳躍間斷點，第二類間斷點，區間
上的連續函數的定義．
(2) 較高要求：討論黎曼函數的連續性．
(三) 教學建議：
(1)函數連續性概念是本節的重點．對學生要求懂得函數在一點和在區間上連續的定義，
間斷點的分類．
(2) 本節的難點是用較高的分析方法、技巧證明函數的連續性，可在此節中對較好學生
布置有關習題．
§2 連續函數的性質
(一) 教學目的：掌握連續函數的局部性質和閉區間上連續函數的整體性質．
(二) 教學內容：連續函數的局部保號性，局部有界性，四則運算；閉區間上連續函數的最大
最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函數的連續性，一致連續性．
(1) 基本要求：掌握函數局部性質概念，可去間斷點，跳躍間斷點，第二類間斷點；了
解閉區間上連續函數的性質．
(2) 較高要求：對一致連續性的深入理解．
(三)教學建議：
(1) 函數連續性概念是本節的重點．要求學生掌握函數在一點和在區間上連續的定義，間
斷點的分類，了解連續函數的整體性質．對一致連續性作出幾何上的解釋．
(2) 本節的難點是連續函數的整體性質，尤其是一致連續性和非一致連續性的特征．可在
本節中對較好學生布置判別函數一致連續性的習題．
§3 初等函數的連續性
(一) 教學目的：了解指數函數的定義，掌握初等函數的連續性．
(二) 教學內容：指數函數的定義；初等函數的連續性．
(1) 基本要求：掌握初等函數的連續性．
(2) 較高要求：掌握指數函數的嚴格定義．
(三)教學建議：
(1) 本節的重點是初等函數的連續性．要求學生會用初等函數的連續性計算極限．
(2) 本節的難點是理解和掌握指數函數的性質．
第五章 導數和微分
§1 導數的概念
(一) 教學目的：1.理解導數的定義及其幾何、物理意義. 2.掌握可導與連續的關系.
了解費馬定理、達布定理．
(二) 教學內容：函數的導數，函數的左導數，右導數，有限增量公式，導函數．
(1) 基本要求：掌握函數在一點處的導數是差商的極限．了解導數的幾何意義，理解費馬
定理．
(2) 較高要求：理解達布定理．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是導數的定義和導數的幾何意義．會用定義計算函數在一點處的導數．
(2) 本節的難點是達布定理．對較好學生可布置運用達布定理的習題．
§2 求導法則
(一) 教學目的：熟練掌握求導運算的四則運算法則,復合函數求導法則及初等函數求導公式，
熟記基本初等函數的求導公式．
(二) 教學內容：導數的四則運算，反函數求導，復合函數的求導，基本初等函數的求導公式．
基本要求：熟練掌握求導法則和熟記基本初等函數的求導公式，會求平面曲線的切線方
程和法線方程.
(三) 教學建議：
求導法則的掌握和運用對以后的學習至關重要，要安排專門時間督促和檢查學生學習情
況．
§3 參變量函數的導數
(一) 教學目的：掌握參變量函數的導數的求導法則．
(二) 教學內容：參變量函數的導數的求導法則．
基本要求：熟練掌握參變量函數的導數的求導法則．
(三) 教學建議：
通過足量習題使學生掌握參變量函數的導數的求導法則．
§4 高階導數
(一) 教學目的：掌握高階導數的概念，了解求高階導數的萊布尼茨公式．
(二) 教學內容：高階導數；求高階導數的萊布尼茨公式．
(1) 基本要求：掌握高階導數的定義，能夠計算給定函數的高階導數．
(2) 較高要求：掌握并理解參變量函數的二階導數的求導公式．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是高階導數的概念和計算．要求學生熟練掌握．
(2) 本節的難點是高階導數的萊布尼茨公式，特別是參變量函數的二階導數．要強調對
參變量求導與對自變量求導的區別．可要求較好學生掌握求參變量函數的二階導數．
§5 微分
(一) 教學目的：掌握微分的概念和微分的運算方法，了解高階微分和微分在近似計算中的應
用．
(二) 教學內容：微分的概念，微分的運算法則，高階微分，微分在近似計算中的應用．
(1) 基本要求：掌握微分的概念，微分的運算法則，一階微分形式的不變性．
(2) 較高要求：掌握高階微分的概念．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是掌握微分的概念，要講清微分是全增量的線性主部．
(2) 本節的難點是高階微分，可要求較好學生掌握這些概念．
第六章 微分中值定理及其應用
§1 拉格朗日定理和函數的單調性
(一) 教學目的：
1.熟練掌握微分學中值定理.掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的條件,結論和證明
方法
2.會用導數判別函數的單調性，能用中值定理解決一些證明問題.
(二) 教學內容：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理．
(1) 基本要求：掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會用導數判別函數的單調性．
(2) 較高要求：掌握導數極限定理．
(三) 教學建議：
(1)本節的重點是掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢記定理的條件與結論，
知道證明的方法．
(2)本節的難點是用拉格朗日中值定理證明有關定理與解答有關習題．可要求較好學生掌
握通過設輔助函數來運用微分中值定理．
§2 柯西中值定理和不定式極限
(一) 教學目的：掌握落比達法則求極限的方法,了解定理的條件.
(二) 教學內容：柯西中值定理；洛必達法則的使用．
(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必達法則求各種不定式極限．
(2) 較高要求：掌握洛必達法則 型定理的證明．
(三) 教學建議：
(1)本節的重點是掌握用洛必達法則求各種不定式極限．可強調洛必達法則的重要性，并
總結求各種不定式極限的方法．
(2) 本節的難點是掌握洛必達法則的證明，特別是 型的證明．
§3 泰勒公式
(一) 教學目的：理解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式．會用臺
勞公式求極限和求常見函數的近擬值
(二) 教學內容：帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式及其在近似計
算中的應用．
(1) 基本要求：了解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式，熟記
六個常見函數的麥克勞林公式．
(2) 較高要求：用泰勒公式計算某些極限．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是理解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式．
(2) 本節的難點是掌握帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式的證
明．對較好學生可要求掌握證明的方法．
§4 函數的極值與最大(小)值
(一) 教學目的：掌握函數的極值與最大(小)值的概念．
(二) 教學內容：函數的極值與最值．
(1) 基本要求：掌握求函數極值的第一、二充分條件；學會求閉區間上連續函數的最值
及其應用．
(2) 較高要求：掌握求函數極值的第三充分條件．
(三) 教學建議：
教會學生以函數的不可導點和導函數（以及二階導數）的零點（穩定點）分割函數定義
域，作自變量、導函數（以及二階導數）、函數的性態表，這個表給出函數的單調區間，
凸區間，極值．這對后面的函數作圖也有幫助．
§5 函數的凸性與拐點.
(一) 教學目的：掌握函數凸性與拐點的概念，對一般的函數會求其單調區間,極值,最值,凹
凸性,
拐點及函數的漸近線，應用函數的凸性證明不等式．
(二) 教學內容：函數的凸性與拐點．
(1) 基本要求：掌握函數的凸性與拐點的概念，應用函數的凸性證明不等式．
(2) 較高要求：運用詹森不等式證明或構造不等式，左、右導數的存在與連續的關系．
(三) 教學建議：
(1) 教給學生判斷凸性的充分條件即可，例如導函數單調．
(2) 本節的難點是運用詹森不等式證明不等式．
§6 函數圖象的討論
(一) 教學目的：掌握函數圖象的大致描繪
(二) 教學內容：作函數圖象．
(1) 基本要求：掌握直角坐標系下顯式函數圖象的大致描繪．
(2) 較高要求：能描繪參數形式的函數圖象．
(三)教學建議：
教會學生根據函數的性態表，以及函數的單調區間，凸區間，大致描繪函數圖象．
第七章 實數的完備性
§1 關于實數集完備性的基本定理
(一)教學目的：理解區間套定理,聚點定理,致密性定理,有限覆蓋定理的條件和結論.理解這
些定理的含意及關系,了解各定理的證明思路．
(二)教學內容：區間套定理、柯西判別準則的證明；聚點定理；有限覆蓋定理．
(1) 基本要求：掌握和運用區間套定理、致密性定理．
(2) 較高要求：掌握聚點定理和有限覆蓋定理的證明與運用．
(三) 教學建議：
(1)本節的重點是區間套定理和致密性定理．教會學生在什么樣情況下應用區間套定理和致
密性定理以及如何應用區間套定理和致密性定理．
(2) 本節的難點是掌握聚點定理和有限覆蓋定理．教會較好學生如何應用聚點定理和有限
覆蓋定理．
§2 閉區間上的連續函數性質的證明
(一) 教學目的：證明閉區間上的連續函數性質．
(二) 教學內容：閉區間上的連續函數有界性的證明；閉區間上的連續函數的最大(小)值定
理的證明；閉區間上的連續函數介值定理的證明；閉區間上的連續函數一致連續性的
證明．
(1)基本要求：理解閉區間上連續函數性質的證明思路和證明方法.掌握用有限覆蓋定理
或用
致密性定理證明閉區間上連續函數的有界性；用確界原理證明閉區間上的連續函數的
最大(小)值定理；用區間套定理證明閉區間上的連續函數介值定理．
(2)掌握用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函數的有界性和一致連續性．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是證明閉區間上的連續函數的性質．
(2) 本節的難點是掌握用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函數的一致連續性以及實數
完備性的六大定理的等價性證明，對較好學生可布置這方面的習題．
第八章 不定積分
§1 不定積分的概念與基本積分公式
(一) 教學目的：掌握原函數,不定積分的概念和性質
(二) 教學內容：原函數的概念；基本積分公式；不定積分的幾何意義．熟練掌握基本積分
公式及線性運算法則
基本要求：熟練掌握原函數的概念和基本積分公式．
(三) 教學建議：
(1) 不定積分是以后各種積分計算的基礎，要求熟記基本積分公式表．
(2) 適當擴充基本積分公式表．
§2 換元積分法與分部積分法
(一) 教學目的：掌握第一、二換元積分法與分部積分法．
(二) 教學內容：第一、二換元積分法；分部積分法．
基本要求：熟練掌握換元積分法和分步積分法.
(三) 教學建議：
(1) 布置足量的有關換元積分法與分部積分法的計算題．
(2) 總結分部積分法的幾種形式：升冪法，降冪法和循環法．
§3 有理函數和可化為有理函數的不定積分
(一) 教學目的：會計算有理函數和可化為有理函數的不定積分．
(二) 教學內容：有理函數的不定積分；三角函數有理式的不定積分；某些無理根式的不定積
分．
(1) 基本要求：會計算有理函數的不定積分；三角函數有理式的不定積分；某些無理根
式的不定積分．
(2) 較高要求：利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分．
(三) 教學建議：
(1) 適當布置有理函數的不定積分，三角函數有理式的不定積分，某些無理根式的不
定積分的習題．
(2) 本節的難點是利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分，可要求較好學生掌握．
第九章 定積分
§1 定積分的概念
(一) 教學目的：引進定積分的概念．
(二) 教學內容：定積分的定義．
基本要求：掌握定積分的定義,上,下和的定義等概念，了解定積分的幾何意義和物理意
義．
(三) 教學建議：要求掌握定積分的定義，并了解定積分的幾何意義．
§2 牛頓-萊布尼茨公式
(一) 教學目的：熟練掌握和應用牛頓-萊布尼茨公式．
(二) 教學內容：牛頓-萊布尼茨公式．
(1) 基本要求：熟練掌握和應用牛頓-萊布尼茨公式．
(2) 較高要求：利用定積分的定義來處理一些特殊的極限．
(三) 教學建議：
(1) 要求能證明并應用牛頓-萊布尼茨公式．
(2) 利用定積分的定義來處理一些特殊的極限是一個難點，對學習較好的學生可布置這
種類型的題目．
§3 可積條件
(一) 教學目的：理解定積分的充分條件，必要條件和充要條件．
(二) 教學內容：定積分的充分條件和必要條件；可積函數類.
基本要求：掌握可積的必要條件,充分條件及證明思路.掌握可積函數類.
(三) 教學建議：
(1) 理解定積分的第一、二充要條件是本節的重點，要求學生必須掌握．
(2) 證明定積分的第一、二、三充要條件是本節的難點．對較好學生可要求掌握這些定
理的證明以及證明某些函數的不可積性．
§4 定積分的性質
(一) 教學目的：掌握定積分的性質．
(二) 教學內容：定積分的基本性質；積分第一中值定理．
(1) 基本要求：掌握定積分的基本性質和積分第一中值定理．
(2) 較高要求：較難的積分不等式的證明．
(三) 教學建議：
(1) 定積分的基本性質和積分第一中值定理是本節的重點，要求學生必須掌握并靈活應
用．
(2) 較難的積分不等式的證明是本節的難點．對較好學生可布置這方面的習題．
§5 微積分學基本定理
(一) 教學目的：掌握微積分學基本定理．
(二) 教學內容：變上限的定積分；變下限的定積分；微積分學基本定理；積分第二中值定
理，換元積分法；分部積分法；泰勒公式的積分型余項．
(1) 基本要求：掌握變限定積分的概念；掌握微積分學基本定理和換元積分法及分部積
分法．
(2) 較高要求：掌握積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項．
(三)教學建議：
(1) 微積分學基本定理是本節重點，要求學生必須掌握微積分學基本定理完整的條件與
結論．
(2) 積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項是本節的難點．對較好學生要求他們了
解這些內容．
第十章 定積分的應用
§1 平面圖形的面積
(一) 教學目的：掌握平面圖形面積的計算公式．
(二) 教學內容：平面圖形面積的計算公式．
(1) 基本要求：掌握平面圖形面積的計算公式，包括參量方程及極坐標方程所定義的平
面圖形面積的計算公式．
(2) 較高要求：提出微元法的要領．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是平面圖形面積的計算公式，要求學生必須熟記并在應用中熟練掌握．
(2) 領會微元法的要領．
§2 由平行截面面積求體積
(一) 教學目的：掌握由平行截面面積求體積的計算公式
(二) 教學內容：由平行截面面積求體積的計算公式．
基本要求：掌握由平行截面面積求體積的計算公式．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須熟記由平行截面面積求體積的計算公式并在應用中熟練掌握．
(2) 進一步領會微元法的要領．
§3 平面曲線的弧長與曲率
(一) 教學目的：掌握平面曲線的弧長與曲率
(二) 教學內容：平面曲線的弧長與曲率的計算公式．
(1) 基本要求：掌握平面曲線的弧長計算公式．
(2) 較高要求：掌握平面曲線的曲率計算公式．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須熟記平面曲線的弧長計算公式．
(2) 對較好學生可要求他們掌握平面曲線的曲率計算公式．
§4 旋轉曲面的面積
(一) 教學目的：掌握旋轉曲面的面積計算公式．
(二) 教學內容：旋轉曲面的面積計算公式．
基本要求：掌握求旋轉曲面的面積的計算公式，包括求由參數方程定義的旋轉曲面的面
積；
掌握平面曲線的曲率的計算公式．
(三) 教學建議：
要求學生必須熟記旋轉曲面面積的計算公式，掌握由參數方程定義的旋轉曲面的面積．
§5 定積分在物理中的某些應用
(一) 教學目的：掌握定積分在物理中的應用的基本方法．
(二) 教學內容：液體靜壓力；引力；功與平均功率．
(1) 基本要求：要求學生掌握求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式．
(2) 較高要求：要求學生運用微元法導出求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公
式．
(三) 教學建議：
要求學生必須理解和會用求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式．
十一章 反常積分
§1 反常積分的概念
(一) 教學目的：掌握反常積分的定義與計算方法．
(二) 教學內容：無窮積分；瑕積分．
基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義與計算方法．
(三) 教學建議：講清反常積分是變限積分的極限．
§2 無窮積分的性質與收斂判別
(一) 教學目的：掌握無窮積分的性質與收斂判別準則．
(二) 教學內容：無窮積分的收斂；條件收斂；絕對收斂；比較判別法；柯西判別法；狄利
克雷判別法；阿貝爾判別法．
(1) 基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義，會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分
的斂散性．
(2) 較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．
(三) 教學建議：(1) 本節的重點是掌握判別無窮積分與瑕積分收斂的方法，要求學生主要
學會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性．
(2) 本節的難點是用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性，
對較好學生布置這方面的習題．
第十二章 數項級數
§1 級數的收斂性
(一) 教學目的：掌握數項級數收斂性的定義和收斂級數的性質.
(二) 教學內容：數項級數收斂性的定義和基本性質；等比級數；調和級數．
基本要求：深刻理解數項級數收斂的定義及與數列收斂的關系.
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須理解和掌握數項級數收斂性的定義和基本性質；掌握等比級數與調
和級數
的斂散性．
(2) 應用柯西收斂準則判別級數的斂散性是一個難點，對較好的學生可提出相應要求．
§2 正項級數
(一) 教學目的：掌握判別正項級數斂散性的各種方法，包括比較判別法，比式判別法，根
式判別
法和積分判別法．
(二) 教學內容：比較判別法；比式判別法；根式判別法；積分判別法．
(1) 基本要求：掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法．
(2) 較高要求：介紹拉貝判別法．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須理解和掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法，要布置足量的習
題．
(2) 對較好學生可要求掌握拉貝判別法，可挑選適量的習題．
(3) 由于這方面內容與反常積分的部分內容有類似之處，可向學生作比較與總結．
§3 一般項級數
(一) 教學目的：掌握交錯級數的萊布尼茨判別法，一般項級數的狄利克雷判別法與阿貝爾
判別法．
(二) 教學內容：交錯級數；萊布尼茨判別法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法；條件收斂；
絕對收斂．
基本要求：(1)理解收斂級數,絕對收斂級數與條件收斂級數的關系,性質及證明方法.掌握
交錯級數的萊布尼茨判別法．
(2) 掌握一般項級數的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，了解絕對收斂級數的性質．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是要求學生必須熟練掌握交錯級數的萊布尼茨判別法，掌握條件收斂和絕
對收斂的定義，了解絕對收斂級數性質的結論．總結判別一般項級數的斂散性的各種方法．
(2) 本節的難點是要求學生掌握一般項級數的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，要求較
好學生掌握絕對收斂級數的性質．
第十三章 函數序列與函數項級數
§1 一致收斂性
(一) 教學目的：掌握函數序列與函數項級數一致收斂性的定義，函數序列與函數項級數一
致收斂性判別的柯西準則，函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．
(二) 教學內容：函數序列與函數項級數一致收斂性的定義；函數序列與函數項級數一致收
斂性判別的柯西準則；函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．
(1) 基本要求：掌握函數序列與函數項級數一致收斂性的定義，函數序列與函數項級數
一致
收斂性判別的柯西準則，函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．
(2) 較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須掌握函數序列與函數項級數一致收斂性的定義，函數序列與函數項級
數一致收斂性判別的柯西準則，函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．
(2) 對較好學生可要求他們掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．
§2 一致收斂函數序列與函數項級數的性質．
(一) 教學目的：掌握一致收斂函數序列與函數項級數的連續性，可積性，可微性．
(二) 教學內容：一致收斂函數序列與函數項級數的連續性的判別；可積性的判別，可微性
的判別．
(1) 基本要求：了解一致收斂函數序列與函數項級數的連續性，可積性和可微性的證明．
(2) 較高要求：掌握一致收斂函數序列與函數項級數的連續性，可積性和可微性的證明．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須掌握一致收斂函數序列與函數項級數的連續性，可積性，可微性的結
論．
(2) 對較好學生可布置有關函數序列與函數項級數的連續性，可積性和可微性證明的習
題．
第十四章 冪級數
§1 冪級數
(一) 教學目的：掌握冪級數收斂半徑和收斂區間的定義與求法，掌握冪級數的性質和運算．
(二) 教學內容：冪級數收斂半徑和收斂區間的定義與求法；掌握冪級數收斂半徑，收斂區
間和收斂域的概念．
基本要求：(1)理解冪級數作為特殊的函數項級數有和一般函數項級數相同的性質.會求
冪
級數的收斂半徑和收斂范圍.掌握冪級數收斂半徑和收斂區間的定義與求法，學會解答
有關冪級數收斂半徑和收斂區間的習題．
(2) 學會解答有關冪級數收斂區域的習題．
(三) 教學建議：
(1) 布置足量求冪級數收斂半徑和收斂區間的習題．
(2) 有關冪級數收斂域的問題，對較好的學生可布置適量的習題
§2 函數的冪級數展開
(一) 教學目的：掌握泰勒級數和麥克勞林級數展開，初等函數的冪級數展開．熟記一些初
等函數的冪級數展開式.
(二) 教學內容：泰勒級數和麥克勞林級數展開式的定義；五種基本初等函數的冪級數展開
式．
(1) 基本要求：掌握泰勒級數和麥克勞林展開式，五種基本初等函數的冪級數展開．
(2) 較高要求：學會用逐項求積和逐項求導的方法展開初等函數，并利用它們作間接展
開．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須掌握泰勒級數和麥克勞林級數展開式，并利用五種基本初等函數的冪
級數展開式對一些初等函數作間接展開．
(2) 對較好學生可布置利用逐項求導和逐項求積的方法展開初等函數的習題．
第十五章 傅里葉級數
§1 傅里葉級數
(一) 教學目的：掌握三角級數和傅里葉級數定義，了解傅里葉級數的收斂定理．
(二) 教學內容：三角級數；正交函數系；傅里葉級數定義；傅里葉級數的收斂定理．
(1) 基本要求：掌握三角級數和傅里葉級數定義，了解傅里葉級數的收斂定理；能夠展開
比較簡單函數的傅里葉級數．
(2) 較高要求：有關傅里葉級數的逐項求導和逐項求積的問題，向學生介紹引入傅里葉
級數的意義 (包括物理意義和數學意義)．
(三) 教學建議：
(1) 向學生介紹引入傅里葉級數的意義(包括物理意義和數學意義)．
(2) 三角級數和傅里葉級數的展開計算量較大，可布置適量習題使學生了解展開的方法
與步驟．
§2 以 2l 為周期的函數的展開式
(一) 教學目的：掌握以 2l 為周期的函數的展開式，偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開，
正弦級數，余弦級數．
(二) 教學內容：對以 2l 為周期的函數作傅里葉級數展開的基本方法；偶函數和奇函數的傅
里葉級數的展開；正弦級數；余弦級數
(1) 基本要求：掌握以 2l 為周期的函數的傅里葉級數展開的基本方法．
(2) 較高要求：掌握通過對函數做奇延拓或偶延拓并展開為正弦級數或余弦級數的基本
方法．
(三) 教學建議：
三角級數和傅里葉級數的展開計算量較大，可布置少量習題使學生了解展開的方法與步
驟．
§3 收斂定理的證明
(一) 教學目的：了解收斂定理的證明．
(二) 教學內容：貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理；收斂定理的證明．
(1) 基本要求：掌握貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理；了解收斂定理的證明要點．
(2) 較高要求：理解收斂定理的證明．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須掌握貝塞爾不等式和黎曼-勒貝格定理，了解收斂定理的證明要點．
(2) 對較好學生布置與收斂定理的證明有關的習題．
第十六章 多元函數的極限與連續
§1 平面點集與多元函數
(一) 教學目的：了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義，了解 的完備性，
掌握二元及多元函數的定義．
(二) 教學內容：平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義； 的完備性；二元及多
元函數的定義．
(1) 基本要求：了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義，以及 的完備性，
掌握二元及多元函數的定義．
(2) 較高要求：掌握 的完備性定理．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生清楚地了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域等有關 的概念，可
布置適量習題．
(2) 有關 的完備性定理的證明可對較好學生提出要求．
§2 二元函數的極限.
(一) 教學目的：掌握二元函數的極限的定義，了解重極限與累次極限的區別與聯系．
(二) 教學內容：二元函數的極限的定義；累次極限．
(1) 基本要求：掌握二元函數的極限的定義，了解重極限與累次極限的區別與聯系，熟
悉判別極限存在性的基本方法．
(2) 較高要求：掌握重極限與累次極限的區別與聯系，能用來處理極限存在性問題．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生弄清一元函數極限與多元函數極限的聯系與區別，教會他們求多元函數極
限的方法．
(2) 對較好學生講清重極限與累次極限的區別與聯系，通過舉例介紹判別極限存在性的
較完整的方法．
§3 二元函數的連續性
(一) 教學目的：掌握二元函數的連續性的定義，以及多元函數的局部性質和它們在有界閉域
上的整體性質．
(二) 教學內容：二元函數的連續性的定義；有界閉域上連續函數的有界性，最大最小值定理，
介值性定理和一致連續性．
(1) 基本要求：掌握二元函數的連續性的定義，了解有界閉域上連續函數的性質．
(2) 較高要求：掌握有界閉域上連續函數性質的證明要點．
(三) 教學建議：
(1) 有界閉域上多元連續函數的性質基本上與一元函數的情況類似，教學中可通過復習
一元連續函數的定理引出．
(2)對較好學生，可布置一些與有界閉域上多元連續函數的性質有關的習題．
第十七章 多元函數微分學
§1 可微性
(一) 教學目的：掌握多元函數偏導數，可微性與全微分的定義，可微的必要條件．
(二) 教學內容：多元函數偏導數，可微性與全微分的定義；可微的必要條件與充分條件．
基本要求：掌握多元函數偏導數，可微性與全微分的定義，熟記可微的必要條件與充分
條件，并能熟練地求多元函數的導數及高級偏導數.理解二元函數的偏導數存在,可微,
連續之間的關系.能熟練地求多元函數的導數及高級偏導數.
(三) 教學建議：
(1)本節的重點是多元函數偏導數，可微性與全微分的定義．
(2) 通過討論可微的必要條件與充分條件，弄清多元函數連續，存在偏導數與可微這三
個分析性質之間的關系．
§2 復合函數微分法
(一) 教學目的：掌握復合函數求導的鏈式法則．
(二) 教學內容：復合函數鏈式法則；復合函數的全微分；一階全微分形式不變性．
(1) 基本要求：掌握復合函數求導的鏈式法則．
(2) 較高要求：掌握鏈式法則的證明和理解一階全微分形式不變性．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須熟練掌握復合函數求導的鏈式法則，應布置較多習題以使學生能通過
完成作業達到熟練使用鏈式法則的目的．
(2) 舉例說明正確使用一階全微分形式不變性的基本方法．
§3 方向導數與梯度
(一) 教學目的：掌握方向導數與梯度的定義，學會計算方向導數與梯度．
(二) 教學內容：方向導數與梯度的定義；方向導數與梯度的計算公式．
基本要求：掌握方向導數與梯度的定義，掌握方向導數與梯度的計算．
(三) 教學建議：
(1) 適當介紹引入方向導數和梯度的意義（物理意義和計算方法上的意義）．
(2) 對學生強調方向導數存在性與偏導數存在性和可微性的區別與聯系．
(3) 注意使用方向導數計算公式的前提條件．
§4 泰勒公式與極值問題
(一) 教學目的：掌握二元函數的高階偏導數與泰勒公式的定義，掌握二元函數的極值的必要
條件與充分條件．
(二) 教學內容：二元函數的高階偏導數；中值定理與泰勒公式；二元函數的極值的必要條件
與充分條件．
(1) 基本要求：掌握二元函數的高階偏導數與泰勒公式的定義，能夠根據二元函數的極
值的必要條件與充分條件尋找二元函數的極值與最大(小)值．
(2) 較高要求：掌握混合偏導數與求導次序無關的定理的證明以及二元函數的極值的必
要條件充分條件定理的證明．
(三) 教學建議：
(1) 布置適量的求二元函數的高階偏導數和求二元函數的極值與最值的習題．
(2) 討論混合偏導和與求導次序無關的多種定理證明的習題有一定的難度，只對較好學
生布置有關習題．
第十八章 隱函數定理及其應用
§1 隱函數
(一) 教學目的：掌握隱函數概念，理解隱函數定理，學會隱函數求導法．
(二) 教學內容：隱函數的定義；隱函數存在性定理；隱函數可微性定理．
(1) 基本要求：掌握隱函數存在的條件，理解隱函數定理的證明要點；學會隱函數求導
法．
(2) 較高要求：掌握隱函數定理的證明．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是隱函數定理，學會隱函數求導法．要求學生必須熟記隱函數定理的條
件與結論，了解隱函數定理的證明要點．
(2) 本節的難點是隱函數定理的嚴格證明，對較好學生在這方面提出要求．
§2 隱函數組
(一) 教學目的：掌握隱函數組存在的條件，學會隱函數組求導法．
(二) 教學內容：隱函數組的定義； 隱函數組定理；反函數組的定義與求導法．
(1) 基本要求：掌握隱函數組和反函數組存在的條件，學會隱函數組和反函數組求導法．
(2) 較高要求：理解隱函數組和反函數組定理的證明．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生熟記隱函數組和反函數組存在的條件，學會隱函數組和反函數組求導法．
(2) 隱函數組和反函數組定理的證明較為繁復，對一般學生可不作要求．
§3 幾何應用
(一) 教學目的：掌握用隱函數和隱函數組求導法求平面曲線的切線與法線，求空間曲線的
切線與法平面，求曲面的切平面與法線．
(二) 教學內容：平面曲線的切線與法線方程；空間曲線的切線與法平面方程；求曲面的切
平面與法線方程．
基本要求：能夠寫出平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程以及曲
面的切平面與法線方程．
(三) 教學建議：要求學生必須熟記平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面
方程以及曲面的切平面與法線方程，可布置適量的習題加深他們的印象．
§4 條件極值
(一) 教學目的：了解拉格朗日乘數法，學會用拉格朗日乘數法求條件極值．
(二) 教學內容：條件極值；拉格朗日乘數法．
(1) 基本要求：了解拉格朗日乘數法的證明，掌握用拉格朗日乘數法求條件極值的方法．
(2) 較高要求：用條件極值的方法證明或構造不等式．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是用拉格朗日乘數法求條件極值．要求學生熟練掌握．
(2) 多個條件的的條件極值問題，計算量較大，可布置少量習題．
(3) 在解決很多問題中，用條件極值的方法證明或構造不等式，是個好方法．可推薦給
較好學生．
第十九章 含參量積分
§1 含參量正常積分
(一) 教學目的：掌握含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理，掌握含參量正常積
分的求導法則．
(二) 教學內容：含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明；含參量正常積分
的導數的計算．
(1) 基本要求：了解含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明，熟練掌握
含參量正常積分的導數的計算公式．
(2) 較高要求：掌握含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須理解含參量正常積分的定義．
(2) 要求較好學生掌握含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明
§2 含參量反常積分
(一) 教學目的：掌握含參量反常積分的一致收斂性概念，含參量反常積分的性質，含參量
反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，了解狄里克雷判別法和阿貝爾判別法．
(二) 教學內容：含參量反常積分的一致收斂性及其判別法；含參量反常積分的性質；含參量
反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法；含參量反常積分的
連續性，可微性與可積性定理．
(1) 基本要求：掌握含參量反常積分的一致收斂性及其判別法，含參量反常積分的性質，
以及含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法．
(2)掌握和應用狄里克雷判別法和阿貝爾判別法．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是含參量反常積分的一致收斂性及魏爾斯特拉斯判別法．要求學生會用
魏爾斯特拉斯判別法判別含參量反常積分的一致收斂性．
(2) 本節的難點是狄里克雷判別法和阿貝爾判別法以及含參量反常積分的連續性，可微
性與可積性定理的證明．對較好學生在這方面提出高要求，布置有關習題；另外，由于
這方面內容與函數項級數部分有類似之處，還可要求他們作比較與總結．
§3 歐拉積分
(一) 教學目的：了解 ? 函數與 ? 函數的定義．
(二) 教學內容： ? 函數與 ? 函數的定義； ? 函數與 ? 函數的聯系．
(1) 基本要求：了解 ? 函數與 ? 函數的定義與有關性質．
(2) 較高要求：了解 ? 函數與 ? 函數的關系公式．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生了解 ? 函數與 ? 函數的定義和性質，可適量布置有關習題．
(2) 對較好學生可布置有關 ? 函數與 ? 函數的關系公式的習題．
第二十章 曲線積分
§1 第一型曲線積分
(一) 教學目的：掌握第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．
(二) 教學內容：第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．
基本要求：掌握第一型曲線積分的定義,性質及計算公式.
(三) 教學建議：要求學生必須熟練掌握第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．
§2 第二型曲線積分
(一) 教學目的：掌握第二型曲線積分的定義，性質和計算公式．
(二) 教學內容：第二型曲線積分的定義，性質和計算公式．
(1) 基本要求：掌握第二型曲線積分的定義和計算公式，了解第一、第二型曲線積分之
間的關系.
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須掌握第二型曲線積分的定義和計算公式．
(2) 兩類曲線積分的聯系有一定的難度，可要求較好學生掌握，并布置這方面習題．
第二十一章 重積分
§1 二重積分概念
(一) 教學目的：掌握二重積分的定義和性質．
(二) 教學內容：二重積分的定義和性質．
(1) 基本要求：掌握二重積分的定義和性質，二重積分的充要條件，了解有界閉區域上
的連續函數的可積性．
(2) 較高要求：平面點集可求面積的充要條件．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須掌握二重積分的定義和性質，知道有界閉區域上的連續函數必可
積．由于二元函數可積的充要條件與定積分類似，這方面的內容可作簡略介紹．
(2) 對較好學生可詳細講述二元函數可積的充要條件的證明，并布置有關習題．
§2 直角坐標下二重積分的計算
(一) 教學目的：掌握直角坐標下二重積分的計算公式．
(二) 教學內容：二重積分化為累次積分；累次積分的積分次序的交換．
(1) 基本要求：掌握二重積分化為累次積分的方法和累次積分的積分次序的交換公
式．理解二重積分的變量替換定理的內容,會用變量替換定理求解簡單的二積分特別要
求會用極坐標變換和柱坐標變換.
(2)了解重積分在幾何和物理上的應用.
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須熟練掌握直角坐標下二重積分的計算公式．
(2) 對較好學生要求掌握二重積分化為累次積分公式的證明．
§3 格林公式，曲線積分與路線無關性
(一) 教學目的：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件．
(二) 教學內容：格林公式；曲線積分與路線無關的條件．
(1) 基本要求：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件，理解格林公式以及曲線
積分與路線無關的條件的定理的證明．
(2) 較高要求：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件定理應用的特殊技巧．
(三) 教學建議：
（1）要求學生必須熟練掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件，并應用格林公式
化二重積分為曲線積分和化曲線積分為二重積分，使他們懂得在什么情況下進行變換可
帶來方便．
(2) 對較好學生要求掌握在應用格林公式以及曲線積分與路線無關的條件的定理時掌
握“挖”“補”等某些特殊技巧．
§4 二重積分的變量變換．
(一) 教學目的：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握用極坐標計算二重積分．
(二) 教學內容：二重積分的一般的變量變換公式；極坐標變換公式．
(1) 基本要求：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握二重積分的極坐標變換．
(2) 較高要求：理解二重積分的一般的變量變換公式的證明．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是極坐標變換公式，要求學生必須熟練掌握．
(2) 本節的難點是二重積分的一般的變量變換公式的證明，可要求較好學生了解．
§5 三重積分
(一) 教學目的：掌握三重積分的定義和性質．
(二) 教學內容：三重積分的定義和性質；三重積分的積分換元法；柱面坐標變換；球面坐
標變換．
基本要求：掌握三重積分的定義和性質，熟練掌握化三重積分為累次積分，及用柱面
坐標變換和球面坐標變換計算三重積分的方法．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須掌握三重積分的定義和性質，知道有界閉區域上的連續函數必可積．由
于三重積分的定義與性質及充要條件與二重積分類似，可作扼要敘述與比較．
(2) 對較好學生可布置這節的廣義極坐標的習題．
§6 重積分的應用
(一) 教學目的：學會用重積分計算曲面的面積，物體的重心，轉動慣量與引力．
(二) 教學內容：曲面面積的計算公式；物體重心的計算公式；轉動慣量的計算公式；引力
的計算公式．
基本要求：掌握曲面面積的計算公式，了解物體重心的計算公式，轉動慣量的計算公式
和引力的計算公式．
(三) 教學建議：
要求學生必須掌握曲面面積的計算公式，物體重心的計算公式，轉動慣量的計算公式
和引力的計算公式，并且布置這方面的的習題．
第二十二章 曲面積分
§1 第一型曲面積分
(一) 教學目的：掌握第一型曲面積分的定義和計算公式．
(二) 教學內容：第一型曲面積分的定義和計算公式．
(1) 基本要求：掌握第一型曲面積分的定義和用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分
計算公式．
(2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計算公式．
(三) 教學建議：
(1) 要求學生必須熟練掌握用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分的定義和計算公
式．
(2) 對較好學生要求他們掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計算公
式．
§2 第二型曲面積分
(一) 教學目的：掌握第二型曲面積分的定義和計算公式．
(二) 教學內容：曲面的側；第二型曲面積分的定義和計算公式．
(1) 基本要求：掌握用顯式方程的第二型曲面積分的定義和計算公式．
(2) 較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第二型曲面積分計算公式，掌握兩
類曲面積分的聯系．
(三) 教學建議：
(1) 本節的重點是要求學生必須掌握第二型曲面積分的定義和計算公式，要強調一、二
型曲面積分的區別，要講清確定有向曲面側的重要性．
(2) 本節的難點是用隱式方程或參數方程給出的曲面的第二型曲面積分的計算公式以
及兩類曲面積分的聯系，可對較好學生要求他們掌握．
§3 高斯公式與斯托克斯公式
(一) 教學目的：學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分．
(二) 教學內容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空間曲線的第二型積分與路徑無關的條件．
(1) 基本要求：學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線
積分．
懂得高斯公式與斯托克斯公式證明的思路，掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無關的
條件．
(2) 較高要求：應用高斯公式與斯托克斯公式的某些特殊技巧．
(三) 教學建議：本節的重點是要求學生學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯
公式計算第二型曲線積分．要講清應用兩公式的條件并強調曲面與曲面的邊界定向的關
系．
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