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杭 州 師 范 大 學 碩 士 研 究 生 入 學 考 試 命 題 紙
2018 年 考試科目代碼 817 考試科目名稱 高等代數 （本考試科目共 3 頁，第 1 頁）
杭 州 師 范 大 學
2018 年招收攻讀碩士研究生入學考試題
考試科目代碼： 817
考試科目名稱： 高等代數
說明：考生答題時一律寫在答題紙上，否則漏批責任自負。
每題 15 分，共 150 分
1. 將多項式 1
n
x ? 分別在實數域與復數域上分解成不可約多項式的乘積。
2. 設 3 2
( ) (1 ) 4 2f x x t x x u? ? ? ? ? 與 3 2
( ) 2g x x tx u? ? ? 的最大公因式是一個二次
多項式，求 ,t u 的值。
3. 求下列行列式的值：
2
1 1 1
2
2 2 2
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
?
?
? ? ?
?
n
n
n
n n n
a a a
a a a
a a a
? ? ?
? ? ?
? ? ?
。
4. 討論：當t 取何值時，二次型 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 4 2 10 6f x x x x x x tx x x x x x? ? ? ? ? ? 是
正定二次型。
5. 已知 1
(7, 10,1,1,1)
T
? ? ? ， 2
(6, 8, 2,3,1)
T
? ? ? ? ， 3
(5, 6, 5,5,1)
T
? ? ? ? ，
4
(1, 2,3, 2, 0)
T
? ? ? ? 都是線性方程組
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5
1 2 3 4 5
0
3 2 3 0
2 2 6 0
5 4 3 3 0
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ??
①
的解向量。
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2018 年 考試科目代碼 817 考試科目名稱 高等代數 （本考試科目共 3 頁，第 2 頁）
（1）求 1 2 3 4
, , ,? ? ? ? 的一個極大無關組。
（2）判斷（1）中所求得的極大無關組是否是方程組①的一個基礎解系；若不是，
將其擴充成方程組①的一個基礎解系。
6. 設 A 是 n 階方陣，證明：
1* n
A A
?
? （其中 *
A 表示 A 的伴隨矩陣）。
7. 設 0 1 -1
, , , n
a a a? 是 n 個實數，A 是 n 階方陣。
0 1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
n n
A
a a a a a? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
? ?
? ?
? ?? ?? ? ? ? ?? ?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
（1）若 ? 是 A 的特征根，試證 2 1
(1, , , , )
n T
? ? ?
?
? 是屬于? 的特征向量；
（2）若已知 A 有 n 個兩兩互異的特征根 1 2
, , , n
? ? ?? ，求可逆陣 P，使得 1
P AP
?
是
對角陣。
8. 設? 為有限維歐氏空間 V 上的正交變換。令
? ?1
( ) ,V V? ? ? ?? ? ? ? ?2
( )V V? ? ? ?? ? ? 。
證明：（1） 1
V 和 2
V 都是 V 的線性子空間；（2） 1 2
V V V? ? 。
9. 設 ? ?2 3
4 0 1 2 3 0 1 2 3
[ ] ( ) | , , ,R x f x a a x a x a x a a a a R? ? ? ? ? ? 為實數域上次數小于 4 的
多項式構成的向量空間，定義 4
[ ]R x 上二元運算如下
1
1
( ( ), ( )) ( ) ( )f x g x f x g x dx
?
? ? ，
證明：
（1）上述二元運算是 4
[ ]R x 上的內積；
（2）求在上述內積下，歐氏空間 4
[ ]R x 的一組規范正交基。
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2018 年 考試科目代碼 817 考試科目名稱 高等代數 （本考試科目共 3 頁，第 3 頁）
10. 設 V 是全體 2 階實方陣構成的向量空間，定義 V 到 V 的映射? ：
( ) ( )x Ax x V? ? ? ? ，其中
a b
A V
c d
? ?
? ?? ?
? ?
。
（1）證明：? 是 V 上的線性變換；
（2）當
1 2
2 4
A
? ?
? ? ?
? ?? ?
時，分別求? 的核和像的基和維數。
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