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杭 州 師 范 大 學 碩 士 研 究 生 入 學 考 試 命 題 紙
2018 年 考試科目代碼 726 考試科目名稱 量子力學 （本考試科目共 2 頁，第 1 頁）
杭 州 師 范 大 學
2018 年招收攻讀碩士研究生入學考試題
考試科目代碼： 726
考試科目名稱： 量子力學
說明：考生答題時一律寫在答題紙上，否則漏批責任自負。
一、填空題（每空 2 分，共 20 分）
1.一維自由粒子的哈密頓量為 ，滿足的含時薛定諤方程是 。
2. 電子的自旋大小是 ，屬于 。（填“玻色子”或“費米子”）
3. 設粒子處在歸一化波函數 上， 為球諧函數，則系
數 （設為實數）的取值為 。
4. 對于 Pauli 矩陣， ， 。
5.力學量完全集是由一組 且 的厄米算符組成。
6. 堿金屬原子光譜的雙線結構產生的原因是 。
二、簡答題（每題 5 分，共 20 分）
1. 統計詮釋對波函數提出的四個要求分別是什么？
2. 什么是簡并？三維各向同性諧振子的能級及其簡并度如何？
3. 波粒二象性是指什么？請寫出德布羅意物質波的表達式。
4. 全同粒子分為哪幾類？具體分類依據是什么？
三、計算題（每題 20 分，共 80 分）
1. 質量為 的粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為：
杭 州 師 范 大 學 碩 士 研 究 生 入 學 考 試 命 題 紙
2018 年 考試科目代碼 726 考試科目名稱 量子力學 （本考試科目共 2 頁，第 2 頁）
(1) 求解能量本征值 和歸一化的本征函數 ；(2) 若已知 時，該粒子狀
態為 ，求 時刻該粒子的波函數；(3) 求 時刻測量到粒子
的能量分別為 和 的幾率是多少？
2. 在 表象下，計算 的本征值和歸一化本征矢。（ 是兩實常數。）
3. 設一諧振子處于基態，已知其 基態波函數為： ，其中
，求它的 , ,并驗證測不準關系。
[已知： ， ]。
4. 已知能量本征態 滿足 ，其中 。在該本征態下計算 ， ，其
中 。
四、證明題（每題 15 分，共 30 分）
1.在一個可歸一化的波函數 下，證明 。
2. 證明（1） ；（2） 。
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