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杭 州 師 范 大 學 碩 士 研 究 生 入 學 考 試 命 題 紙
2018 年 考試科目代碼 725 考試科目名稱 數學分析 （本考試科目共 2 頁，第 1 頁）
杭 州 師 范 大 學
2018 年招收攻讀碩士研究生入學考試題
考試科目代碼： 725
考試科目名稱： 數學分析
說明：考生答題時一律寫在答題紙上，否則漏批責任自負。
一、計算題（每題 15 分，共 75 分）
1、求極限
!
lim
n
n
n
n? ?
。
2、 3
cosy x x? ，求 (50)
y 。
3、設 0x ? ，則 n 為何值時， n
x 與
2
0
sin
x
t tdt? 是同階無窮小量。
4、求級數
2
0
(2 1)
!
n
n
n x
n
?
?
?
? 的和。
5、計算 2 2 2 2
4x y z R? ? ? 的內部被 2 2
2Rxx y ?? 所劃出的部分的體積。
二、證明題（每題 15 分，共 75 分）
6、設 ( ) 0f x?? ? ， [ , ]ix a b? ， 1, 2, ,i n? ? ，證明： 1
1
1
( )
n
i n
i
i
i
x
f f x
n n
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杭 州 師 范 大 學 碩 士 研 究 生 入 學 考 試 命 題 紙
2018 年 考試科目代碼 725 考試科目名稱 數學分析 （本考試科目共 2 頁，第 2 頁）
7、若 ( )f x 在[0,1] 上連續，證明：
0 0
(sin ) (sin )
2
xf x dx f x dx?? ?
? ??
。
8、證明：若 ( )f x 在[0, 2 ]a 上連續，且 (0) (2 )f f a? ，則方程 ( ) ( )f x f x a? ? 在[0, ]a
內至少有一個根。
9 、 證 明 ： 空 間 中 一 點 ( , , )a b c 到 平 面 0Ax By Cz D? ? ? ? 的 最 短 距 離 是
2 2 2
| |Aa Bb Cc D
A B C
? ? ?
? ?
。
10、證明數列
1
1
n
n
? ?? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?? ?
? 有極限。
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