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2018 年碩士研究生入學考試初試考試大綱
科目代碼：601
科目名稱：高等代數
適用專業：數學類各專業
考試時間：3 小時
考試方式：筆試
總 分：150 分
考試范圍：
一、多項式
1．多項式的帶余除法及整除性；
2．多項式的因式分解、最大公因式、互素和重因式；
3. 不可約多項式的判定和性質；
4．多項式函數與多項式的根；
5. 復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式。
二、行列式
1．行列式的定義及性質；
2. 行列式按一行（列）展開；
3．運用行列式的性質及展開定理等計算行列式。
三、 線性方程組
1．線性方程組的求解和討論；
2．線性方程組有解的判別定理；
3．線性方程組解的結構及其解空間的討論。
四、 矩陣
1．矩陣的基本運算、矩陣的分塊；
2．矩陣的初等變換、初等矩陣；
3. 矩陣的等價、合同、正交相似；
4．逆矩陣、伴隨矩陣及其性質；
5．矩陣的秩，矩陣乘積的行列式與秩；
6. 運用初等變換法求矩陣的秩及逆矩陣；
7. 矩陣的特征值與特征向量，對角化矩陣。
五、 二次型
1．二次型及其矩陣表示；
2. 二次型的標準形與合同變換；
3．C、R、Q 上二次型標準形與規范形；
4．正定二次型及其討論。
六、 線性空間
1．線性空間、子空間的定義與性質；
2. 向量組的線性相關性、極大線性無關組；
3. 線性空間的基、維數、向量關于基的坐標，基變換與坐標變換；
4. 生成子空間，子空間的和與直和、維數公式；
七、 線性變換
1．線性變換的定義、性質與運算；
2. 線性變換的矩陣表示；
3．線性變換的核、值域的概念；
4. 線性變換及其矩陣的特征多項式、特征值和特征向量的概念和計算、特征子
空間；
5．線性變換的不變子空間。
八、 歐式空間
1．內積與歐氏空間的定義及性質，向量的長度、夾角、距離，正交矩陣；
2. 正交子空間與正交補；
3．歐氏空間的度量矩陣、標準正交基、線性無關向量組的 Schmidt 正交化方法；
4．正交變換與正交矩陣的等價條件，對稱變換的概念與性質；
5．實對稱矩陣的正交相似對角化的求法。
樣 題 ：
一、（10 分）證明：如果 )()()1(
3
2
3
1
2
xfxfxx ??? ，那么 )()1(),()1( 21
xfxxfx ?? 。
二、（10 分）設 n 階行列式
1 3 5 2 3 2 1
1 2 0 0 0
1 0 3 0 0
1 0 0 1 0
1 0 0 0
n
n n
D
n
n
? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
?
，
求 n
AAA 11211
??? ? 。
三、(10 分) 設 321
,, ??? 為非齊次線性方程組 bAX ? 的三個解，且 3)( ?Ar ，
TT
)7,1,0,2(,)1,5,0,2( 321
???? ??? ,求 bAX ? 的通解。
四、(15 分) 設 1 2
, , , s
? ? ?? 為線性方程組 0?AX 的一個基礎解系，
,,,, 1213221222111
????????? tttttt ss
?????? ? 其中 21
,tt 為實常數，試問 21
,tt 滿
足什么條件時， s
??? ,,, 21
? 也為線性方程組 0?AX 的一個基礎解系。
五、（15 分）設 A 為 mn ? 實矩陣，證明： )()()()( AArAArArAr
TTT
??? 。
六、（20 分，每小題各 10 分）
已知二次型 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3
( , , ) 2 2 2 ( 0)f x x x ax x x bx x b? ? ? ? ? ，其中二次型矩陣的特征值
之和為 1，特征值之積為-12。
1)求參數 ,a b 及二次型對應矩陣的特征值；
2)求一個正交變換 QYX ? ,化二次型 1 2 3
( , , )f x x x 為標準型。
七、（20 分，第 1 小題 5 分，第 2 小題 15 分）
設V 是一個 n 維歐氏空間， 0?? 是V 中一個固定向量。
1)證明： },0),(|{1
VxxxV ??? ? 是V 的一個子空間； 2)證明： 1
V 的維數為 1?n 。
八、（15 分，第 1 小題 7 分，第 2 小題 8 分）
設V 是數域 P 上 n 維線性空間，? 是V 的線性變換， ( ,ae a P e? ? ? ? 為V 的恒等
變換 ) ， 2
( ) 4g x x? ? ，而且 ( ) 0g ? ? 。
1)證明： 2? 是? 的特征值；2)證明： 22 ?
?? VVV 。
九、（15 分）設 1 2
, , , n
? ? ?? 為 n 維歐氏空間V 的一組基。證明：這組基為標準
正交基的充要條件是對于V 中任意向量? 都有
1 1 2 2
( , ) ( , ) ( , )n n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 。
十、（10 分，每小題各 5 分）
已知 1? 是矩陣
2 2
5 3
1 1 1
a
A b
? ?
? ?
?
? ?
? ?? ?? ?
的特征值。
1)求 ,a b 的值； 2)問矩陣 A 能否對角化？為什么？
十一、（10 分）設 n 階對稱矩陣 nnij
aA ?
? )( 是正定矩陣， n
bbb ,,, 21
? 是任意n 個
非零實數，證明 nnjiij
bbaB ?
? )( 也是正定矩陣。
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