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2019 年黑龍江大學碩士研究生入學考試大
綱
考試科目名稱：高等代數 考試科目代碼：750
本《高等代數》考試大綱適用于 2019 年黑龍江大學中俄學院數學與應用數
學專業碩士研究生入學考試。高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之
一。它的主要內容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、特征值
和特征向量、線性變換和歐式空間。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有
較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。
一、考試的基本要求
要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的
基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合
運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試方法、題型、分數和考試時間
高等代數考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分.
題型：填空題、計算題、證明題
考試時間為 180 分鐘
三、考試內容
（一）多項式
1．一元多項式的因式、帶余除法公式及互素的概念及判別；
2．復根存在定理；
3．根與系數關系；
（二）行列式
1．行列式的置換、對換、置換奇偶性；
2．行列式的定義，基本性質及計算；
3．Vandermonde 行列式；
4．行列式的代數余子式、Cramer 法則。
（三）矩陣
1．矩陣基本運算、分塊矩陣運算；
2．初等矩陣、初等變換和矩陣的秩；
3．矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式；
4．行列式乘積定理；
5．矩陣和轉置
6．對角陣、三角陣、三對角陣；
7．矩陣的跡、方陣多項式；
（四）線性方程組求解
1．線性方程組有解的充分必要條件；
2．Gauss 消元法；
（五）線性空間和線性變換；
1．向量的線性相關和線性無關；
2．線性空間的定義及性質；
3．向量組的秩、線性空間的基及坐標；
4．線性變換的矩陣表示；
5．矩陣相似；
6．不變子空間；
7．子空間的直接和、維數公式；
8．線性空間的同構。
（六）特征值和特征向量
1．特征值和特征多項式；
2．特征向量、特征子空間、度數和重數；
（七）內積空間和等積變換
1．Euclid 空間的標準正交基，施密特（Schmidt）正交化；
2．Gram 行列式；
3．正交變換及其矩陣表示；
4．QR 分解；
5．正交相似變換
6．向量到子空間的距離、最小二乘。
（八）二次型和對稱矩陣
1．二次型及其標準形、慣性定理；
2．實對稱矩陣正定的充分必要條件；
（九）Jordan 標準形
1．向量的最小化零多項式；
2．線性變換及矩陣的最小多項式；
3．矩陣的 Jordan 標準形及其唯一性；
4．初等因子和不變因子；
四、掌握重點
（一）行列式乘積定理及其應用
（二）分塊矩陣運算及其應用
（三）矩陣三角分解及其應用
（四）矩陣的秩及其應用
（五）線性空間的概念及性質
（六）線性變換下的不變子空間及其矩陣表示
（七）二次型的標準形
（八）實對稱矩陣及其性質
（九）矩陣 Jordan 標準型的計算及其應用
五、主要參考書目
[1] 北京大學編《高等代數》，高等教育出版社，1978 年 3 月第 1 版 ，2003
年 7 月第 3 版 ，2003 年 9 月第 2 次印刷.
[2] 曹重光，《線性代數》，內蒙古出版社，1999.
[3] 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數》，高等教育出版社， 1997.
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