|
友情提示：本站提供全國400多所高等院校招收碩士、博士研究生入學考試歷年考研真題、考博真題、答案，部分學校更新至2012年，2013年；均提供收費下載。 下載流程： 考研真題 點擊“考研試卷””下載; 考博真題 點擊“考博試卷庫” 下載
2019 年寧波大學博士研究生招生考試初試科目
考 試 大 綱
科目代碼、名稱: 2610 泛函分析
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分值及考試時間
本試卷滿分為 100 分，考試時間為 180 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）
相應的位置上。
（三）試卷題型結構
證明題、計算題
二、考試科目簡介
泛函分析是現代數學分析學的重要分支，其廣博深厚的理論體系、高度概括的理論方法
以及廣泛的應用價值對現代科學技術的各個領域都產生重大影響。泛函分析綜合了函數論、
幾何和代數的觀點與方法，研究無窮維空間上的函數、算子理論，以更加抽象的純形式的方
法解決了分析學中的諸多問題。本課程是數學系研究生進入現代數學學習和研究很重要的專
業基礎課。本課程主要以線性泛函分析中的空間論、算子和泛函論和譜論為主要內容。
三、考試內容及具體要求
1．距離空間
(1) 距離空間的概念，內容包括定義，例子（函數空間和序列空間），點列的收斂性，映射
的連續性，內容包括開（閉）球，內點、開集、領域等概念，距離的等價性，映射的連續性
等；
(2) 距離空間的閉集，內容包括距離空間的閉集，集合的閉包，集合的稠密性和距離空間的
可分性，列緊集和距離空間的列緊性；
(3) 距離空間的完備性，內容包括 Cauchy 列，完備距離空間的定義，完備空間與不完備空
間舉例，距離空間的完備化；
(4) 完備距離空間的性質，內容包括閉集套定理，Banach 壓縮映照原理及其應用。
2．賦范空間
(1) 賦范空間的概念，內容包括賦范空間和 Banach 空間定義，例子（函數空間和序列空間），
范數連續性，范數與距離的關系，點列的收斂性；
(2) 完備賦范空間，內容包括賦予不同范數的連續函數空間，賦范空間的完備化，重要的完
備空間錯誤！未找到引用源?？臻g和錯誤！未找到引用源?？臻g；
(3) 賦范空間的的幾何結構，內容包括凸集，子空間和 Riesz 引理；
(4) 有限維賦范空間，內容包括范數等價性，有限維賦范空間的幾何特征。
3．內積空間和 Hilbert 空間
(1) 內積空間的基本性質，包括內積、內積空間，內積和范數的關系、內積空間特征、Hilbert
空間的定義，一些典型的內積空間、Hilbert 空間例子；
(2) 正交和正交分解，包括正交和正交補的定義，凸集的最佳逼近，Hilbert 空間正交分解
定理；
(3) 正交系和正交投影，包括內積空間正交系和正交投影定義，Fourier 級數，Bessel 不等
式與 Fourier 級數的收斂性；
(4) 正交基和正交列的完備性，包括正交基和正交列的完備性定義，正交列的完備性的四個
價性描述；
(5) 可分 Hilbert 空間的等距同構，包括線性無關組正交化算法，可分 Hilbert 空間與錯誤！
未找到引用源。
4．有界線性算子和線性泛函
(1) 有界線性算子和有界線性泛函，包括它們的定義，一些有界線性算子和有界線性泛函的
例子，線性算子有界性和連續性的關系，線性算子賦范空間定義（過程），一些具體有界線
性算子或泛函范數的計算。
(2) 有界線性算子空間的收斂和完備性，內容包括有界線性算子列的范數收斂定義及其等價
性，有界線性算子列的強收斂的定義以及與范數收斂的關系，算子空間（泛函空間）的完備
性。
(3) 一致有界原理，包括 Baire 綱定理，及其各種表現形式，Banach-Steinhaus 一致有界
原理及其逆否命題，有界線性算子空間強收斂意義下的完備性。
(4) 開映射定理與逆算子定理，包括逆算子定義，有界逆算子存在的充分條件，開映射定理
及其證明，逆算子定理，Banach 空間的范數等價定理。
(5) 閉算子和閉圖像定理，包括閉算子的定義，與閉圖像的等價性，線性算子的閉性，與有
界性和閉定義域的關系，一些重要閉算子的例子，閉圖像定理。
5．共軛空間和共軛算子
(1) Hahn-Banach 延拓定理（復形式和實形式）及其幾個重要推論，它們在凸集分離中的應
用；
(2) 共軛空間，包括共軛空間的定義，幾個重要空間的共軛空間；
(3) Hilbert 空間的共軛空間，包括 Riesz 表示定理，Hilbert 空間的共軛空間在共軛同構
意義下和自身等同，Hilbert 空間的共軛算子，包括它的定義和性質，有界線性算子的值域
與它的共軛算子零空間的關系；
(4) Hilbert 空間中的自共軛的有界線性算子，包括它的定義和性質，幾個重要的自共軛的
有界線性算子，有界線性算子的 Cartesian 分解；
(5) Banach 空間的共軛算子，包括它的定義和性質，Hilbert 空間與 Banach 空間的定義軛
算子的關系，空間自反性的定義，幾類重要的自反空間，弱收斂及其相關性質，強收斂與弱
收斂的關系；
(6) 線性算子的譜理論，包括定義與例子，預解式、譜半徑及計算定理。
四、參考教材或主要參考書
1. 教材
[1] 泛函分析講義（上冊），張恭慶，林源渠著，北京大學出版社，北京，2015.
2. 參考書目
[1] 實變函數與泛函分析概要（第二冊），鄭維行、王聲望編著，高等教育出版社，2010.
[2] 實變函數與泛函分析（下冊），夏道行編著，高等教育出版社，2010.
[3] 實變函數與泛函分析基礎，程其襄，張奠宙編著，高等教育出版社，2004.
[4] Functional Analysis，Walter Rudin，Mc Graw Hill Education，1999.
免責聲明：本文系轉載自網絡，如有侵犯，請聯系我們立即刪除，另：本文僅代表作者個人觀點，與本網站無關。其原創性以及文中陳述文字和內容未經本站證實，對本文以及其中全部或者部分內容、文字的真實性、完整性、及時性本站不作任何保證或承諾，請讀者僅作參考，并請自行核實相關內容。
|
文章搜索
您現在的位置： 
