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2019 年寧波大學博士研究生招生考試初試科目
考 試 大 綱
科目代碼、名稱: 3813抽象代數
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分值及考試時間
本試卷滿分為 100 分，考試時間為 180 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。 試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應
的位置上。
（三）試卷題型結構
證明題。
二、考試科目簡介
代數學是現代數學的三大基本理論之一，抽象代數是代數學方向最重要的基礎課。代數學建立
的四個基本代數結構：群、環、模和域，已經成為現代數學工作者常用的基本概念。代數學的新方
法，新理論要回答最前沿的數學問題，同時又為最前沿的數學研究提供強有力的研究工具. 考試的
基本要求：（1）考生比較系統地掌握基本代數結構如群、環、模和域的基本概念、基本理論；（2）
掌握研究代數結構的一些基本思想和方法；（3）要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、綜合
運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
三、考試內容及具體要求
1．群 論
(1) 子群與 Lagrange 定理：子群的定義、性質、判定、例子、構造，集合上的二元關系、等價關系
與劃分，利用等價關系導出陪集分解和 Lagrange 定理；Lagrange 定理的應用：元素的階及計算；
兩子群積集的計數公式；共軛關系、中心、中心化子、共軛元的個數；類方程及其應用：p-群有非
平凡的中心；
(2) 循環群：群同態和同構及其意義；固定階循環群在同構意義下的唯一性；有限循環群的固定階
子群在通常意義下的唯一性；循環群的生成元和自同構群；
(3) 正規子群、商群、群同態基本定理：正規子群的定義與例子；商群的構造（為什么要商群？）
同態基本定理：表述、意義、證明和應用（子群對應定理和兩個同構定理）；應用舉例：內自同構群
同構于 G/Z(G)；
(4) 置換群：變換群的重要性；Cayley 定理；Sn 中元素的表達、奇偶性、階；對稱群與交錯群的生
成系；置換的型；共軛類的劃分；有限單群；An (n>4)的單性；Sn 的正規子群；
(5) 群在集合上的作用及其應用：群作用的思想；兩種定義的等價性；作用的核; 軌道公式；Burnside
引理在不同領域計數中的應用；
(6) Sylow 定理：有限群 Sylow I, II, III 的表述與證明；
(7) 有限生成 Abel 群：歸結為有限生成自由 Abel 群（秩）與有限 Abel 群；有限 Abel 群是其 Sylow
子群的直和；素數冪 p^n 階 Abel 群的同構類與數 n 的劃分之間的一一對應；會用初等因子和不變因
子對有限 Abel 群分類；
(8) 可解群與 Jordan-Holder 定理；
(9) 有限生成 Abel 群的結構。
2. 環 論
(1) 環的基本概念：定義；名詞與簡單性質（交換環，無零因子環，整環，除環，域）；
(2) 環同態基本定理：理想的構造；主理想整環（PID）；除環上的全矩陣環是單環；商環的構造；
環同態基本定理的意義；
(3) 極大理想與素理想：定義及關系；意義：構造域及整環; PID 中的極大理想和素理想；Zorn 引
理；極大理想和素理想的存在性；
(4) 唯一因子分解整環（UFD）：不可約元與素元；UFD 的定義；非 UFD 的例子；
(5) UFD 的等價刻畫：PID 是 UFD；
(6) Euclid 整環（ED）：定義與例子；環，整環，UFD, PID, ED，域之間的關系；
(7) 多項式環：Gauss 定理：UFD 上的多項式環仍是 UFD；域上多元多項式環不是主理想整環；
(8) 交換環的大根與小根；
(9) 有關交換環的局部化理論；
(10) 鏈條件。
3. 模 論
(1) 模的定義：子模、子模的交與和；內直和；商模；同態；同態的分解；模的同態環；正合列；
(2) 直積、直和與自由模：直積與直和；內部直和與外部直和之間的關系；直積與直和的同態；自
由模；自由群和可除阿貝爾群；主理想整環上的有限生成模；
(3) 內射模與投射模：大子模和小子模；內射模與投射模的定義及其簡單性質；內射包與投射蓋；
貝爾判別準則；
(4) 阿廷模與諾特模：定義和特征；希爾伯特基定理；阿廷模和諾特模的同態；諾特環的特征；諾
特環與阿廷環上內射模的分解；
(5) 局部環與模的直和分解：局部環；局部自同態環；單模與半單模；半單環；
(6) 根基與基座：根基與基座；環的根基；有限生成模和有限余生成模的特征；阿廷環和諾特環的
特征；內射模和投射模的自同態環的根基；
(7) 張量積與平坦模：張量積；平坦模。
4. 域 論
(1) 域的擴張：素域；有限擴域的維數；域擴張的方法；單擴域的結構；有限擴域與代數擴域及其
關系；
(2) 分裂域：定義與意義；存在性；同構延拓定理及其證明；利用同構延拓定理證明分裂域的唯一
性；分裂域的 Galois 群的階；
(3) 有限域：結構定理;有限域上的不可約多項式；Wedderburn 定理；有限域上的一般線性群和特
殊線性群；
(4) 可分擴域：定義；完全域；不可分擴域的存在性；“大部分代數擴域”是可分的 Artin 本原性定
理：有限可分擴域是單擴域；
(5) 正規擴域：定義；有限正規擴域= 多項式的分裂域; 有限 Galois 擴域的定義；有限 Galois 擴
域=可分多項式的分裂域；有限 Galois 擴域：|Gal（E/F）| = [E:F].
5. Galois 理論
(1) Galois 理論的基本定理：群和域的反序對應關系；Artin 引理；正規性引理；Galois 理論的
基本定理及其證明；
(2) 方程的 Galois 群：方程的 Galois 群作為根集上的(可遷)置換群；有理數域上只有兩個非實的
復根的素數次不可約多項式的 Galois 群；純粹方程的 Galois 群；Galois 反問題；
(3) 代數方程的根式可解性：根式可解的含義；Lagrange 預解式；Galois Theorem (利用 Galois
理論的基本定理怎樣將代數方程的根式可解性歸結為其 Galois 群的可解性）。
四、參考教材或主要參考書
1.聶靈沼，丁石孫,代數學引論（第二版），高等教育出版社，2000
2.T.W. Hungebford, Algebra(有中譯本,書名《代數學》)，GTM 73, Springer-Verlag.
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