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2020年西北師范大學
碩士研究生入學考試
同等學力加試
微分幾何 考試大綱
(科目代碼：)
學院名稱(蓋章)： 數學與統計學院
學院負責人(簽字)：
編 制 時 間： 2019 年 7 月 2 日
微分幾何考試大綱
一、考核要求
理解曲線論和曲面中的一些基本概念，準確掌握研究微分幾何的常用方法和基本結論。能夠
以此為基礎研究現代微分幾何學，能夠理論聯系實際、分析和解決實際幾何問題。
二、考核要點
第一章考核曲線論的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正則參數曲面的概念，曲
面的第一、二基本形式，曲面的各種曲率、曲面上的各種方向和對應曲線，特殊曲面的幾何
意義和幾何特征；第三章考核等距對應和共形對應的基本概念，測地曲率的計算，測地線方
程和基本性質，Gauss-Bonnet 公式及重要結論，特殊曲面，理解測地曲率和測地線是內蘊幾
何概念，了解協變微分。
三、考核內容
第一章 曲線論
第一節 曲線的概念
第二節 Frenet 標架
第三節 空間曲線的曲率和撓率
第四節 曲線輪的基本定理
第五節 密切曲面
第六節 特殊曲線
說明：掌握曲線的概念，空間曲線的基本三棱形，曲率撓率和 Frenet 公式。掌握特殊
曲線：平面曲線，一般螺線。掌握曲線上一點鄰近的結構和空間曲線論的基本定理。
第二章 曲面論
第一節 正則曲面的概念
第二節 曲面的第一基本形式
第三節 曲面的第二基本形式
第四節 法曲率與 Weingarten 變換
第五節 主曲率、Gauss 曲率和平均曲率
第六節 漸近方向與漸近線、主方向與曲率線
第七節 特殊曲面
第八節 曲面論的基本定理
說明：掌握正則參數曲面的概念，掌握并能熟練計算曲面的第一基本形式、曲面的第二
基本形式、各種曲率，理解曲面上的特殊方向（指漸近方向和主方向）和特殊曲線（指漸近
線和曲率線）的幾何意義。掌握可展曲面的幾何意義和幾何特征，懂得 Gauss 曲率是內蘊量，
理解曲面論的基本定理。
第三章曲面的內蘊幾何
第一節 等距對應與共形對應
第二節 測地曲率與測地線
第三節 Gauss-Bonnet 公式
第四節 協變微分
第五節 常高斯曲率的曲面
說明：理解等距對應的意義。熟練掌握測地曲率的計算，掌握測地線的方程和基本性質。
熟記 Gauss-Bonnet 公式及幾個重要推論。了解協變微分是歐氏平面上普通導數概念在曲面
上的推廣。理解測地曲率和測地線是內蘊幾何概念。掌握常高斯曲率曲面。
四、參考書目
1. 陳維桓編著，《微分幾何》，北京大學出版社，2006 年.
2.蘇步青，胡和生等，《微分幾何》，高等教育出版社，1994 年.
3. 梅向明,黃敬之編,《微分幾何》（第四版），高等教育出版社，2008 年.
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