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2020年西北師范大學
碩士研究生入學考試
同等學力加試
泛函分析 考試大綱
(科目代碼： )
學院名稱(蓋章)： 數學與統計學院
學院負責人(簽字)：
編 制 時 間： 2019 年 7 月 3 日
泛函分析 考試大綱
第一章 度量空間與線性賦范空間
考試要點：
度量空間的概念，例子；度量空間中的收斂性與連續性；稠密性；可分性；Cauchy 列
與度量空間的完備性；壓縮映像原理及其應用；線性賦范空間的概念，例子；Banach 空間
的概念。
考試內容：
第一節 度量空間的概念與例子
距離及度量空間的定義；例子（歐氏空間 n
R ；連續函數空間 ],[ baC ；數列空間 p
l 等）。
第二節 度量空間中的極限? 稠密性? 可分空間
領域的概念；收斂點列；有界集；具體空間中收斂性的意義；稠密性與可分空間的概念；
不可分空間的例子。
第三節 連續映射
映射連續性的各種定義及其等價性。
第四節 Cauchy 點列與完備度量空間
度量空間中 Cauchy 點列的概念；完備度量空間的定義；完備度量空間與不完備度量空
間的各類例子；度量空間閉子空間的完備性。
第五節 度量空間的完備化
等距同構；度量空間的完備化定理；
第六節 壓縮映像原理及其應用
壓縮映像的定義；壓縮映像原理；在隱函數定理及常微分方程中的應用。
第七節 線性空間
本節內容為線性空間的基本概念。因學生已在高等代數課程中學過有限維空間的有關
內容，故只需簡要回顧并強調無限維線性空間的特征即可。
第八節 線性賦范空間和 Banach 空間
范數，線性賦范空間和 Banach 空間的概念；依范數收斂； n
R 空間； ],[ baC 空間；
?
l
空間； ?
L 空間； ],[ baL
p
空間；
p
l 空間；有限維賦范空間的拓撲同構性。
考核要求：
掌握度量空間，線性賦范空間和 Banach 空間的概念和性質；掌握映射連續性，度量空
間的完備性等概念；熟悉 n
R 空間， ],[ baC 空間，
?
l 空間， ?
L 空間，
p
l 空間， ],[ baL
p
空
間；透徹理解壓縮映像原理及其簡單應用。能獨立解答基本的習題。
第二章 線性有界算子和線性連續泛函
考試要點：
線性有界算子，線性連續泛函，線性算子空間，共軛空間。
考試內容：
第一節 線性有界算子與線性連續泛函
線性有界算子與線性連續泛函的概念，例子，有界與連續的等價性，線性有界算子零空
間的性質，算子范數。
第二節 線性算子空間和共軛空間
線性算子空間的結構及其完備性，共軛空間，保距算子，同構映照，同構，一些具體空
間的共軛空間。
考核要求：
掌握線性有界算子，線性連續泛函，有界性，連續性，算子范數，共軛空間，保距算子，
同構映照，同構等基本概念；掌握有界與連續的等價性定理，基本定理；能夠計算簡單的算
子范數和一些具體空間的共軛空間。能獨立解答基本的習題。
第三章 內積空間和 Hilbert 空間
考試要點：
內積空間，投影定理，Hilbert 空間，就范直交系，Hilbert 空間上線性連續泛函的表示。
考試內容：
第一節 內積空間的基本概念
內積空間與 Hilbert 空間的定義，平行四邊形公式，內積空間的判定。
第二節 投影定理
點到集合的距離，凸集，極小化向量定理，集合的正交，Hilbert 空間的正交分解，投
影算子及其性質。
第三節 Hilbert 空間中的就范直交系
就范直交系，Fourier 系數集，Bessel 不等式，Parseval 恒等式，完全就范直交系的定義
與判定, Fourier 展式，Gram-Schmidt 正交化過程，Hilbert 空間的同構。
第四節 Hilbert 空間上的線性連續泛函
Riesz 表示定理，共軛算子及其性質。
第五節 自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念與簡單性質。
考核要求：
掌握內積空間，Hilbert 空間，平行四邊形公式，就范直交系，Bessel 不等式，Parseval
恒等式，Fourier 展式，投影算子，共軛算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；
掌握極小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理, Riesz 表示定理等基本定理
的內容與證明；能獨立解答基本的習題。
第四章 Banach 空間中的基本定理
考試要點：
Hahn-Banach 延拓定理，Riesz 表示定理，線性賦范空間中的共軛算子，
第一節 泛函延拓定理
次線性泛函，Hahn-Banach 泛函延拓定理的實形式、復形式及其推論。
第二節 ],[ baC 的共軛空間、Riesz 表示定理
第三節 共軛算子
第四節 線性賦范空間中共軛算子的定義及性質。
第五節 綱定理和一致有界性定理
第一綱集，第二綱集，Baire 綱定理, 一致有界性定理強收斂、弱收斂和一致收斂
強收斂、弱收斂、弱*收斂和一致收斂的定義，例子，相互關系，強收斂的充要條件。
第六節 逆算子定理
逆算子定理及其證明。
第七節 閉圖象定理
線性算子的圖象，閉算子，閉圖象定理。
考核要求：
掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于 Hahn-Banach 延拓定理，Riesz 表示
定理，Baire 綱定理，逆算子定理，閉圖象定理是泛函分析基礎理論的主要構成部分，要求
熟練掌握這些內容；能獨立解答基本的習題。
第五章 線性算子的譜
考試要點：
簡要介紹線性算子的譜的概念，基本性質。
譜的概念
正則算子，正則點，正則集，譜點，特征值，特征向量，點譜，連續譜，例子。
第一節 線性有界算子譜的基本性質
譜集的閉性。
考核要求：
了解線性算子的譜的概念，基本性質。
三、參考書目
1、 程其襄等，《實變函數與泛函分析基礎》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王聲望， 鄭維行，《實變函數與泛函分析概要》，第二冊，高等教育出版社，1992，
第二版。
3、 夏道行等，《實變函數論與泛函分析》，下冊，高等教育出版社， 1985，第二版。
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