|
友情提示：本站提供全國400多所高等院校招收碩士、博士研究生入學考試歷年考研真題、考博真題、答案，部分學校更新至2012年，2013年；均提供收費下載。 下載流程： 考研真題 點擊“考研試卷””下載; 考博真題 點擊“考博試卷庫” 下載
2020年西北師范大學
碩士研究生入學考試
同等學力加試
常微分方程 考試大綱
(科目代碼： )
學院名稱(蓋章)： 數學與統計學院
學院負責人(簽字)：
編 制 時 間： 2019 年 7 月 3 日
常微分方程 考試大綱
第一章 初等積分法
考試要點
準確理解微分方程的一些最基本的概念；按如下兩條主線掌握一階方程的初等積分法：
變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程，全微分方程和通過積分因子法或分項
組合法可化為全微分方程的方程；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程
的解法。
考試內容
第一節 微分方程與解
基本概念：微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）、定解問題，通
過單擺方程和人口模型等介紹微分方程的背景和建立微分方程求解應用問題的基本方法。
第二節 變量可分離方程
第三節 變量分離法。
第四節 齊次方程
齊次方程和一些齊次方程的變形的解法。
第五節 一階線性方程
一階線性方程的解法—常數變易法與 Bernoulli 方程的解法；通過解的一般表達式討論
解的性質。
第六節 全微分方程及積分因子
全微分方程的解法和積分因子法、分項組合法。
第七節 線素場 歐拉折線
一階微分方程的幾何解釋和歐拉折線法。
第八節 一階隱式微分方程
一階隱式微分方程的微分消參法，特別是 Clairaut 方程的解法、奇解與包絡。
第九節 一階微分方程應用舉例
簡介
第十節 幾種可降階的高階方程
幾種可降階的高階微分方程的解法。
考核要求
掌握微分方程的基本概念--微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）
等；掌握變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程、全微分方程和通過積分因
子法或分項組合法可化為全微分方程的一階微分方程的解法；掌握隱式微分方程的微分消
參法和可降階的高階微分方程的解法；能夠通過解的一般表達式討論解的性質，理解和應
用奇解概念；通過建立微分方程求解一些應用問題。
第二章 基本定理
教學要點
解的存在唯一性定理、延拓定理、解對初值的連續依賴性和可微性定理以及所涉及概念
的準確理解，解的存在唯一性定理的詳細證明。
教學內容
第一節 解的存在性與唯一性定理
引進并詳細證明解的存在唯一性定理；依據具體例子對定理的條件做詳細說明。
第二節 解的延展
介紹并證明解的延展定理，示例說明該定理的條件；介紹第一比較定理。
第三節 解對初值的連續依賴性
介紹并證明解對初值的連續依賴性定理。
第四節 解對初值的可微性
介紹并證明解對初值的可微性定理。
考核要求
重點掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的內容以及解的存在唯一性定理的證明思想；
熟練掌握 Picard 逼近列、Lipschits 條件和延拓概念。
第三章 線性微分方程
考試要點
準確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法和常系數線
性微分方程的特征根法、比較系數法、Laplace 變換；理解振動現象。
考試內容
第一節 線性方程的一般性質
線性微分方程的解的存在唯一性定理及線性微分算子的性質。
第二節 n 階線性齊次微分方程
建立齊次線性微分方程的一般理論，得到通解結構定理，證明 Liouville 公式并應用到
2 階微分方程。
第三節 n 階線性非齊次方程
n 階線性非齊次方程的通解結構定理與常數變易法。
第四節 n 階常系數線性齊次微分方程解法
用特征根法解常系數線性齊次微分方程的基本步驟、理論證明、典型示例。
第五節 n 階常系數線性非齊次微分方程解法
比較系數法的建立、理論證明、典型示例。
第六節 Laplace 變換
介紹 Laplace 變換以及如何應用 Laplace 變換求解一些常系數線性非齊次微分方程的
Cauchy 問題。
第七節 2 階常系數線性方程與振動現象
依據線性微分方程的解的表示解釋振動現象。
考核要求
準確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法、特征根法、
比較系數法和 Laplace 變換；能夠依據解的一般表示討論解的一些屬性。
第四章 線性微分方程組
考試要點
準確理解線性微分方程組的一般理論；能夠熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法、常
系數線性微分方程的特征根法和簡單的非齊次方程的解法。
考試內容
第一節 一階微分方程組
一階微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
第二節 線性微分方程組的一般概念
一階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
注：第一節與第二節共 2 學時
第三節 線性齊次微分方程組的一般理論
建立線性齊次微分方程組的一般理論，得到通解結構定理，證明 Liouville 公式。
第四節 線性非齊次微分方程組的一般理論
線性非齊次微分方程組的一般理論和常數變易法。
第五節 常系數線性微分方程組的解法
特征根法—理論證明與方法的熟練應用；簡單的非齊次方程的解法。
考核要求
準確理解線性微分方程組的一般理論；熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法和特征根
法；能夠依據解的一般表示討論解的一些屬性。
第五章 定性與穩定性概念
考試要點
二維自治系統初等奇點的分類及其附近的軌線分布；極限環的定義與示例；穩定性概念
及其判定定理，分別應用穩定性概念、線性化系統的特征值、Liapunov 第二方法討論自治
系統的解的穩定性。
考試內容
第一節 相平面作圖 單擺
自治系統及其軌線的分類與性質。
第二節 初等奇點附近的軌線分布
二維自治系統初等奇點的分類—結點、鞍點、焦點、中心及其附近的軌線分布。
第三節 極限環舉例
極限環的定義與示例。
第四節 穩定性概念
穩定性概念、判定定理和判定方法，著重 Liapunov 第二方法。
考核要求
重點掌握二維自治系統初等奇點的分類及其附近的軌線分布；理解穩定性概念及其判定
定理，會應用穩定性概念、線性化系統的特征值、Liapunov 第二方法討論自治系統的解的
穩定性。
二、 參考書目
1、 東北師范大學數學系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年。
2、 葉嚴謙，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年（第二版）。
3、 中山大學數學系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983 年（第二版）。
4、 國家教育委員會師范教育司，《普通高度師范學校數學教育專業（本科）教育教學基本
要求（試行）》，首都師范大學出版社，1994。
免責聲明：本文系轉載自網絡，如有侵犯，請聯系我們立即刪除，另：本文僅代表作者個人觀點，與本網站無關。其原創性以及文中陳述文字和內容未經本站證實，對本文以及其中全部或者部分內容、文字的真實性、完整性、及時性本站不作任何保證或承諾，請讀者僅作參考，并請自行核實相關內容。
|
文章搜索
您現在的位置： 
