考試科目代碼：[805]

考試科目名稱：高等代數

一、考核目標

（一）考查考生對高等代數的基本概念、主要理論、重要方法的掌握程度。

（二）考查考生的數學抽象思維、邏輯推理及運算求解能力，提高分析問題、解決問題能力。

二、試卷結構

（一）考試時間：180分鐘，滿分：150分

（二）題型結構

1、填空題：6小題，每小題5分，共30分

2、解答題：7小題，每小題15或20分，共120分

三、答題方式

 閉卷筆試

四、考試內容

（一）多項式，20分

考試內容：

整除理論、因式分解理論、根的理論。

考試要求：

（1）理解帶余除法、整除、最大公因式、互素、重因式、根等有關結論。

（2）掌握不可約多項式的判別與證明、綜合除法、標準分解式與有理根的求法。

（3）理解矩陣或線性變換的多項式。

（二）行列式與線性方程組，20分

考試內容：

行列式的計算、線性方程組解的理論。

考試要求：

（1）理解行列式概念，掌握行列式的常用計算方法；了解行列式與方程組、可逆矩陣、矩陣秩、二次型、特征值等的關系。

（2）理解線性方程組解的求法、判定與結構，掌握含參數線性方程組的討論與求解，理解齊次方程組的基礎解系或解空間與系數矩陣秩的關系。

（三）矩陣，20分

考試內容：

矩陣的運算、矩陣的秩與矩陣的分解、分塊矩陣及其初等變換的應用。

考試要求：

（1）掌握矩陣的各種運算、矩陣的秩、可逆矩陣。

（2）了解初等矩陣與初等變換的關系、矩陣分解、分塊矩陣及其應用。

（四）二次型，20分

考試內容：

標準形與規范形、正定問題。

考試要求：

（1）掌握化二次型為標準形或規范形的方法、正定問題的判定與證明。

（2）了解合同、負定、半正定的概念。

（五）線性空間，20分

考試內容：

向量組的線性相關性、基、維數和坐標、子空間的和與直和。

考試要求：

（1）了解線性空間的概念、性質以及同構思想。

（2）理解向量組線性無關的常規證法，基與維數的求法與證明。

（3）掌握子空間直和的證明。

（六）線性變換，20分

考試內容：

線性變換的概念、線性變換的矩陣、相似、特征值特征向量與對角化、值域、核與不變子空間。

考試要求：

（1）了解線性變換與方陣的同構對應關系。

（2）理解線性變換、值域與核、不變子空間的概念。

（3）會求線性變換在基下的矩陣，理解相似的概念與性質。

（4）掌握特征值與特征向量的求法與證明，對角化問題的判別與討論。

（七）Jordan標準形，10分

考試內容：

最小多項式、Jordan標準形。

考試要求：

（1）了解不變因子、初等因子的求法以及與矩陣相似的關系。

（2）理解最小多項式的概念與基本性質，掌握Jordan標準形的求法與應用。

（八）歐氏空間，20分

考試內容：

內積與標準正交基、正交變換和對稱變換。

考試要求：

（1）了解歐氏空間、正交補的概念，理解標準正交基的性質及其求法。

（2）理解正交變換和對稱變換的主要特征及相關證明，

（3）掌握實對稱矩陣的正交對角化的計算，利用實對稱矩陣性質進一步討論正定問題。

五、主要參考書目

（一）王萼芳，石生明主編：《高等代數》（第三版），高等教育出版社，2003版

（二）徐仲等主編：《高等代數導教導學導考》，西北工業大學出版社，2004版