811 《高等代數》考試大綱
一、總體要求
高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。它的主要內容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數。要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試知識點及考核要求
（一）多項式
考試內容
數域 有理數域 實數域 復數域等概念 一元多項式的概念及其計算 多項式的整除因式 公因式 最大公因式 互素 用輾轉相除法求最大公因式 不可約多項式 可約多項式因式分解及唯一性定理 多項式的導數 重因式 單因式 根 重根 單根 多項式有重因式的判別方法 代數學基本定理 實數域、復數域上多項
式因式分解定理 求有理系數多項式的全部有理根考試要求
1.了解數域、有理數域、實數域、復數域等概念。
2.了解一元多項式的概念及其計算。
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3.了解多項式的整除、因式、公因式、最大公因式、互素的概念。
4.會用輾轉相除法求最大公因式。
5.了解不可約多項式、可約多項式的概念，掌握因式分解及唯一性定理。
6.了解多項式的導數、重因式、單因式、根、重根、單根等概念，掌握多項式有重因式的判別方法，掌握代數學基本定理。掌握實數域、復數域上多項式因式分解定理。
7.會求有理系數多項式的全部有理根。
（二）行列式
考試內容
n 階行列式的定義 行列式的性質 行列式的計算 拉普拉斯
定理 克萊姆法則
考試要求
1.了解 n 階行列式的定義。
2.掌握理解行列式的性質，掌握行列式計算，會利用行列式的性質計算較復雜的 n 階行列式。
3.了解拉普拉斯定理，掌握行列式的乘法定理。
4.掌握克萊姆法則。
（三）線性方程組
考試內容
n 維向量的定義 向量的數乘和加法運算 向量組的線性組合線性表示 線性相關 線性無關等價 極大無關組向量組的秩矩陣的秩 線性方程組的消元法 齊次線性方程組有非零解的充要條件 非齊次線性方程組有解的充要條件 齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念用行初等變換求線性方程組通解的方法
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考試要求
1.理解 n 維向量的定義，掌握向量的數乘和加法運算。
2.理解向量組的線性組合、線性表示、線性相關、線性無關、等價、極大無關組、秩的概念。掌握與此相應的重要結論。
3.理解矩陣的秩的概念并掌握相關結論。
4.掌握求向量組的極大無關組、秩的方法。
5.理解線性方程組的消元法原理。理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解非齊次線性方程組有解的充要條件。
6.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念。
7.掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。
（四）矩陣
考試內容
矩陣的概念 矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律 伴隨矩陣 逆矩陣 矩陣可逆的充要條件 矩陣的初等變換矩陣等價 初等矩陣 用初等變換
求逆陣 矩陣分塊概念 矩陣分塊運算。
考試要求
1.理解矩陣的概念，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律。
2.理解矩陣的概念，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨求矩陣。
掌握逆矩陣的性質，掌握矩陣可逆的充要條件。
3.理解矩陣的初等變換和矩陣等價的概念，了解初等矩陣的性質。掌握用初等變換求逆陣的方法。
4.掌握矩陣乘積、和的秩的有關結論。
5.了解矩陣分塊概念、掌握矩陣分塊運算。
（五）二次型
考試內容
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二次型概念 二次型的矩陣表示方法 二次型的標準型、規范型 用配方法求二次型的標準型 用初變換方法求二次型的標準型實二次型慣性定理 理解正慣性指數、負慣性指數、符號差 實二次型分類概念 各類二次型（正定、負定、半正定、半負定、不定）的判別方法
考試要求
1.理解二次型概念，掌握二次型的矩陣表示方法。
2.理解二次型的標準型、規范型的概念，會用配方法求二次型的標準型，掌握用初等變換方法求二次型的標準型。
3.理解實二次型慣性定理，理解正慣性指數、負慣性指數、符號差等概念。
4. 掌握實二次型分類概念。掌握各類二次型（正定、負定、
半正定、半負定、不定）的判別方法。
（六）線性空間
考試內容
向量空間的概念 線性空間的維數、基、坐標 基變換、坐標變換的公式 過渡矩陣 線性子空間 子空間的交與和維數公式子空間直和 判別直和的條件 商空間 空間、子空間、商空間三者維數之間的聯系 線性空間同態與同構 有限維線性空間同構
的充分必要條件 線性空間的同態基本定理考試要求
1.理解向量空間的概念，理解線性空間的維數、基、坐標的概念。
2.掌握基變換、坐標變換的公式，會求過渡陣。
3.理解線性子空間、子空間的交與和的概念，掌握維數公式，掌握判別子空間的方法，會求子空間交的基、和的基。
4.了解子空間直和的概念，掌握判別直和的條件。
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5.了解商空間的概念，會求商空間的基。掌握空間、子空間、商空間三者維數之間的聯系。
6.了解線性空間同態與同構的概念，掌握有限維線性空間同構的充分必要條件，掌握線性空間的同態基本定理。
（七）線性變換
考試內容
線性變換的定義 線性變換運算 線性變換的矩陣 特征值特征向量 特征子空間 特征多項式 Hamilton-Caylay 定理 線性變換在某組基下矩陣是對角矩陣的充分必要條件 矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件 線性變換的核與值域線性變換的秩與零度 不變子空間 復數域上線性空間的根子空間直和分解定
理
考試要求
1.理解線性變換的定義、運算及其矩陣表示。
2.理解特征值、特征向量、特征子空間、特征多項式等概念，掌握求線性變換、矩陣的特征值、特征向量的方法、掌握 Hamilton-Caylay 定理。
3.掌握線性變換在某組基下矩陣是對角矩陣的充分必要條件，掌握一個矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件。
4.若矩陣 A 與對角陣相似，會求可逆矩陣 P，化 A 為對角矩
陣。
5.理解線性拌和的核與值域的概念，掌握線性變換的秩與零度之和等于線性空間維數的公式，會求值域與核。
6.理解不變子空間的概念，了解線性變換的矩陣化簡和不變子空間的內在聯系，掌握復數域上線性空間的根子空間值和分解定理。
（八）歐氏空間
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考試內容
歐氏空間的定義及其簡單性質 標準正交基的概念 用 Schmidt 方法求標準正交基子空間的正交以及正交補 正交變換判別線性變換是正交變換的方法及其充要條件 正交矩陣正交變換與正交矩陣的聯系 對稱變換 對稱變換與對稱矩陣的聯系 化對稱矩陣為對角陣的方法正交變換法化實二次型為標準型 酉
空間概念及其性質
考試要求
1.理解歐氏空間的定義及其簡單性質。
2.理解標準正交基的概念，會用 Schmidt 方法求標準正交基。
3.理解子空間的正交以及正交補的概念。
4.理解正交變換的概念，掌握判別線性變換是正交變換的方法及其充要條件，理解正交變換與正交陣的聯系。
5.了解 QR 分解及其唯一性問題。
6.掌握對稱變換的概念，了解對稱變換與對稱矩陣聯系，掌握化對稱矩陣為對角陣的方法。會用求特征值方法化實二次型為標準型。
7.了解酉空間概念及其性質。
三、考試題型及比例
計算題： 60%左右；證明題： 40%左右。
四、考試形式及時間
考試形式為閉卷筆試，試卷總分值為 150 分，考試時間為三小時。
五、主要參考教材
[1]《高等代數》第四版，北京大學數學系前代數小組編，王萼芳，石生明修訂，高等教育出版社，2013 年 8 月.
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