891數學專業綜合課考試大綱

請考生注意：

1、數學專業綜合課試題含常微分方程、近世代數、概率論與數理統計三門課程的內容，

考生可任選其中二門課程的試題解答，多選無效。

2、每門課試題滿分 75分。

常微分方程考試大綱

一、基本內容與要求

(一) 初等積分法

1、 熟練掌握變量可分離方程、可化為變量分離方程的類型、一階線性方程與常數變易法、

全微分方程與積分因子等的解法。掌握一階隱方程與參數表示。

2、 會應用降階法解某些高階方程。

3、 會建立簡單的微分方程模型。

(二) 線性方程和線性方程組

1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.

2、 掌握常系數線性微分方程(組)的解法.

3、 能應用線性方程(組)解的結構對方程的解做簡單定性分析.

4、 了解二階線性方程的冪級數解法和 Laplace 方法。

5、 會應用二階常系數線性方程分析振動現象。

6、會求二階微分方程組的奇點及其類型

(三) 基本定理

1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關于初值的連續、可微性定理

2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。

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近世代數考試大綱

一、基本內容與要求

(一)基本概念

1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運算，能夠在集合之間建立映射關系，并判

斷兩個映射是否相同。

2、掌握代數運算與映射的關系，能夠建立有限集合之間的運算表，并判斷給定的運算是

否滿足結合律、交換律以及兩種分配律。

3、掌握同態映射、同構映射和自同構的概念，理解同態與同態滿射（滿同態）的關系，

并能判定映射是否是同態滿射（滿同態），掌握具有同態滿射（滿同態）的集合之間的聯系。能

夠判定給定的映射和運算是否是同構關系，能建立兩個集合之間的同構映射。

4、理解關系和等價關系的概念，掌握等價關系和分類之間的轉換定理，熟練判定給定的

關系是否是等價關系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數間給定模的剩余類。

(二) 群論

1、掌握群的等價定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無

限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，

能熟練掌握群與階的關系，會計算群元素的階。

2、理解群同構、同態的定義，掌握一個群的自同構的集合也成群的證明，掌握群同態的

有關性質，并能證明在同態滿射下，單位元的像也是單位元，元 a的逆元的像是 a的像的逆元。

3、掌握循環群的定義和由生成元決定循環群的性質與特點，熟練掌握剩余類加群，并能

證明任一循環群可以與整數加群或模為 n的剩余類加群同構。以及與循環群同態的群的性質。