武漢工程大學2020年碩士研究生入學考試

《數學分析》考試大綱

一、考試標準(命題原則)：

1、考查學生對基礎知識（包括基本概念、基本內容、基本結論、基本計算）的掌握程度以及運用已掌握的知識分析和解決問題的能力，考查學生的抽象思維能力和邏輯推理能力。

2、考試對象為報考我校2020年光電、數理學院計算機應用技術(理學)專業各方向的研究生入學考試考生。

3、試題難中易比例：容易：30%，中等：55%，難15%。

4、知識點復蓋率達80%以上。

二、題型、分值及考試時間：

1、填空(約30分)

2、選擇題(約20分)

3、判斷題(約10分)

2、計算題(約60分)

3、證明題(約30分)

合計150分

考試時間：180分鐘（3個小時）

三、考試內容與要求（有*號的章節僅需了解基本概念與基本計算）

1、 函數

函數概念；函數的四則運算；函數的圖象；數列；有界函數；單調函數；奇函數與偶函數；周期函數；復合函數；反函數；初等函數

重點掌握：函數的概念，函數的表示，函數的復合運算和具有特殊性質的函數。

2、極限

數列極限；兩個重要極限；收斂數列的性質；收斂數列的四則運算；數列的收斂判別法；子數列；函數的極限；函數極限的性質；函數極限與數列極限的關系；函數極限存在判別法；無窮大與無窮?。粺o窮小的比較。

重點掌握：數列極限的定義與性質，收斂判別的單調有界原理，函數極限的定義與性質，兩個重要極限，無窮大與無窮小的定義與性質。

3、連續函數

連續函數的概念；間斷點及其分類；連續函數的運算及其性質；閉區間連續函數的性質；反函數的連續性；初等函數的連續性。

重點掌握：函數連續的定義，閉區間連續函數的性質。

4、實數的連續性(*)

閉區間套定理；確界定理；有限覆蓋定理；聚點定理；致密性定理；柯西收斂準則；閉區間上連續函數性質與證明；一致連續性。

重點掌握：上、下確界的定義，一致連續的概念，閉區間連續函數的性質的證明。

5、 導數與微分

導數概念；導數的四則運算；反函數的求導法則；復合函數的求導法則；初等函數的導數；隱函數求導法則；參數方程求導法則；微分的概念；微分的運算法則和公式；微分在近似計算上的應用；高階導數；萊布尼茨公式；高階微分。

重點掌握：導數與微分的定義，運算及應用，高階導數與高階微分的計算。

6、 微分學的基本定理及其應用

羅爾定理；拉格朗日定理；柯西定理；洛必達法則；泰勒公式；常用的幾個展開式；函數的單調性；函數的極值與最值；函數的凸凹性；曲線的漸近線。

重點掌握：微分中值定理，洛必達法則，泰勒公式，利用導數研究函數性質。

7、 不定積分

原函數；不定積分；分部積分法；換元積分法；有理函數的不定積分；簡單無理函數的不定積分；三角函數的不定積分。

重點掌握：不定積分的定義及性質，不定積分的計算。

8、 定積分

定積分的概念；小和與大和；可積準則；三類可積函數；定積分的性質；定積分中值定理；按照定義計算定積分；積分上限函數；定積分的基本公式；定積分的分部積分法；定積分的換元積分法；微元法；平面區域的面積；平面曲線的弧長；應用截面面積求體積；旋轉體的側面積；變力作功；定積分的近似計算。

重點掌握：定積分的定義，存在條件及性質，定積分的計算及應用。

9、 級數

數值級數收斂與發散的概念；收斂級數的性質；同號級數；變號級數；絕對收斂級數的性質；函數級數的收斂域；一致收斂的概念；一致收斂判別法；函數列的一致收斂；和函數的分析性質；冪級數的收斂域；冪級數和函數的分析性質；泰勒級數；基本初等函數的冪級數展開；冪級數的應用。

重點掌握：收斂與發散的概念，收斂級數的性質，同號級數、變號級數收斂性判別法，函數項級數、一致收斂、一致收斂級數的性質，冪級數的概念，收斂半徑，和函數的分析性質，函數的冪級數展開。

10、多元函數微分學

多元函數的概念；二元函數的極限；二元函數的連續性；偏導數；全微分；可微的幾何意義；復合函數微分法；方向導數；高階偏導數；二元函數的泰勒公式；二元函數的極值。

重點掌握：多元函數的概念，二元函數的極限和連續概念與性質，偏導數、全微分，復合函數偏導數的鏈式法則，微分運算法則，極值的概念與計算。

11、 隱函數

隱函數的概念；一個方程確定的隱函數；方程組確定的隱函數；函數行列式；函數行列式的性質；函數行列式的幾何性質；條件極值與拉格朗日乘數法；空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線

重點掌握：隱函數存在定理，函數行列式的性質，條件極值的概念與計算，曲線的切線與法平面和曲面的切平面與法線方程。

12、反常積分與含參變量的積分（*）

無窮積分收斂與發散的概念；無窮積分與級數；無窮積分的性質；無窮積分的斂散性判別法；瑕積分收斂與發散的概念；瑕積分的斂散性判別法；含參變量的有限積分；含參變量的無窮積分； 函數與 函數。

重點掌握：無窮積分收斂與發散的概念及斂散性判別法，瑕積分收斂與發散的概念及斂散性判別法，含參變量的有限積分的概念與分析性質，含參變量的無窮積分的概念，一致收斂的定義與判別法，含參變量無窮積分的分析性質， 函數與 函數。

13、重積分

二重積分的概念；二重積分的性質；二重積分的計算；二重積分的換元；曲面的面積；三重積分的概念；三重積分的計算；三重積分的換元；簡單應用。

重點掌握：重積分的概念與性質，二重積分及二重積分、三重積分的計算及柱面坐標與球面坐標。

14、曲線積分與曲面積分（*））

第一型曲線積分；第二型曲線積分；第一型曲線積分與第二型曲線積分的關系；格林公式；曲線積分與路線無關的條件；第一型曲面積分；第二型曲面積分；奧高公式；斯托克斯公式；梯度；散度；旋度；微分算子。

重點掌握：第一型曲線積分與曲面積分的定義及計算，第二型曲線積分與曲面積分的定義及計算，格林公式，曲線積分與路線無關的條件，奧高公式，斯托克斯公式。

四、 主要參考書：

1. 劉玉璉,傅沛仁 等．數學分析講義（第五版）（上、下冊）．高等教育出版社，2010年

2. 裴禮文．數學分析中的典型問題與方法．高等教育出版社，2009年

3  復旦大學數學系編．數學分析（第三版）（上、下冊）．高等教育出版社，2008年