2020年高等代數與線性代數考試大綱

考試科目：高等代數與線性代數

考試形式和試卷結構

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．

二、試卷內容結構

高等代數　約80%

線性代數　約20%

三、試卷題型結構

計算題                           4小題，每小題10分，共40分

解答題（包括證明題）             8小題，共110分

高等代數與線性代數

一、行列式

考試內容  

行列式的定義、行列式的性質、行列式的計算、Cramer法則

考試要求

1．理解行列式的定義、行列式的性質．

2．掌握行列式的計算．

3．了解Cramer法則并會應用．

二、線性方程組

考試內容   

高斯消元法、向量空間、線性相關（無關），極大線性無關組、向量組的秩，矩陣的秩、線性方程組有解判定、線性方程組解的結構

考試要求

1．理解向量空間、線性相關（無關），極大線性無關組、向量組的秩，矩陣的秩的概念．

2．掌握高斯消元法．

3．掌握線性方程組有解判定、線性方程組解的結構

三、矩陣

考試內容   

矩陣的運算、矩陣逆、矩陣乘積的行列式、矩陣的分塊運算、初等矩陣、矩陣在初等行（列）變換下的標準型

考試要求

1．理解矩陣的基本概念．

2．掌握矩陣的基本運算，包括矩陣乘法，求逆．

3．了解矩陣的分塊運算，并學會應用.

4. 掌握初等矩陣及矩陣在初等行（列）變換下的標準型.

四、二次型

考試內容   

二次型的矩陣表示、二次型的標準形、慣性定律、正定二次性及其判定

考試要求

1．理解二次型的基本概念．

2．掌握二次型的矩陣表示及化二次型為標準形的方法．

3．掌握慣性定律、正定二次性及其判定.

五、線性空間

考試內容   

線性空間的概念、基、坐標、維數定理、基變換與坐標變換、子空間、子空間的交與直和、子空間的同構

考試要求

1．理解線性空間的概念，基、坐標、維數定理、基變換與坐標變換。

2．掌握線性空間的運算，包括子空間、子空間的交與直和．

3．了解子空間的同構。

六、線性空間

考試內容   

線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣、特征值與向量空間、矩陣相似于對角矩陣、線性變換的值域與核、不變子空間、極小多項式、Jordan標準形

考試要求

1．理解線性變換的定義、線性變換的運算。

2．理解線性變換的矩陣及在不同坐標變換下線性變換的矩陣間的關系．

3．掌握特征值與向量空間的概念與運算。

4. 掌握矩陣相似于對角矩陣的條件。

5. 了解并掌握線性變換的值域與核、不變子空間、極小多項式、Jordan標準形。

七、歐幾里得空間

考試內容   

標準正交基、Gram-Schmidt正交化、正交變換、子空間、實對稱矩陣正交相似標準形、向量到子空間的距離、最小二乘法

考試要求

1．理解歐式空間的基本概念。

2．掌握Gram-Schmidt正交化、正交變換．

3．掌握子空間、實對稱矩陣正交相似標準形。

4. 了解向量到子空間的距離、最小二乘法。

八、雙線性函數與辛空間

考試內容   

線性函數、雙線性函數、對偶空間

考試要求

1．理解線性函數、雙線性函數的基本概念。

2．了解對偶空間的概念。

九、多項式

考試內容   

一元多項式的概念、最大公因式、Euclid輾轉相除法、因式分解定理、不可約多項式、Eisenstein判別法

考試要求

1．理解一元多項式的概念，運算。

2．掌握最大公因式、Euclid輾轉相除法．

3．掌握因式分解定理、不可約多項式、Eisenstein判別法。