2020年江西師范大學碩士研究生入學考試初試科目
考試大綱

一、考試形式與試卷結構

（一）試卷滿分及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙相應的位置上。

（三）試卷題型結構

名詞解釋題（概念題）：2小題，每小題10分，共20分

簡答題（簡述題）：    4小題，每小題10分，共40分

分析論述題（綜合題）：6-7小題，每小題10-20分，共90分

二、考查目標（復習要求）

全日制攻讀碩士學位研究生入學考試《量子力學》科目考試的重點是要求了解量子力學誕生的歷史背景和典型實驗基礎，對波函數的物理解釋、薛定諤方程的建立及基本性質有清楚深入的了解與掌握。熟練掌握一些典型量子模型的定態薛定諤方程的精確解以及一些重要的近似求解方法（定態微擾論與變分法），理解解的物理意義，并熟悉其在實際研究中的一些基本應用。掌握量子力學中一些問題的處理方法，包括：力學量的算符表示、對易關系、不確定度關系、態和力學量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷等處理方法等；并具有綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

三、考查范圍或考試內容概要

第一章 波函數和薛定諤方程

重點：波粒二象性，量子現象的主要實驗基礎。波函數及其統計解釋，薛定諤方程、連續性方程與態疊加原理。

1．了解波粒二象性假設的物理意義及其主要實驗事實，

2．熟練掌握波函數的標準化條件：有限性、連續性和單值性。深入理解波函數的概率解釋。

3．理解并掌握態疊加原理．

4．熟練掌握薛定諤方程的建立過程。深入了解定態薛定諤方程，了解定態與非定態波函數的意義及相互關系。了解連續性方程的推導及其物理意義。 

第二章 一維勢場中的粒子

重點：一維勢場中粒子能量本征態的一般性質，一維方勢阱的束縛態，方勢壘的穿透，方勢阱中的反射、透射與共振，一維簡諧振子。

1．熟練掌握一維薛定諤方程邊界條件的確定和處理方法。

2．熟練掌握一維無限深方勢阱的求解方法及其物理討論，掌握一維有限深方勢阱束縛態問題的求解方法。

3．掌握勢壘貫穿的求解方法及隧道效應的解釋。了解一維有限深方勢阱的反射、透射的處理方法及共振現象的發生。

4．熟練掌握一維諧振子的能譜及其定態波函數的一般特點及其應用。

第三章  力學量用算符表示

重點：坐標與動量算符，算符的運算規則及其一般性質；厄米算符的本征值與本征函數，共同本征函數；不確定度關系，角動量算符。連續本征函數的歸一化，力學量的完全集。力學量平均值隨時間的演化，量子力學的守恒量。

1．掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。

2．熟練掌握厄米算符的基本性質及相關的定理。

3．熟練掌握坐標算符、動量算符以及角動量算符，包括定義式、相關的對易關系及本征值和本征函數。

4．熟練掌握力學量取值的概率及平均值的計算方法．理解兩個力學量同時具有確定值的條件和共同本征函數。

5．掌握不確定度關系的形式、物理意義及其一些簡單的應用。

6．理解力學量平均值隨時間變化的規律。掌握如何根據哈密頓算符來判斷量子體系的守恒量。

第四章  中心力場

重點：三維各向同性諧振子，氫原子及類氫離子。

1．掌握兩體問題化為單體問題及分離變量法求解三維庫侖勢問題。

2．熟練掌握氫原子和類氫離子的能譜、基態波函數以及相關的物理量的計算。

3．了解三維各向同性諧振子的基本處理方法。

第五章  量子力學的矩陣表示與表象變換

重點：態和算符的矩陣表示，表象變換，狄拉克符號，粒子數表象。

1．理解力學量所對應的算符在具體表象中的矩陣表示。

2．理解表象之間幺正變換的意義和基本性質。

3．掌握量子力學公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法．

4．掌握狄拉克符號的意義及基本應用。

5．熟練掌握一維簡諧振子的代數解法和粒子數表象。

第六章  自旋

重點：電子自旋態與自旋算符， 總角動量的本征態，反常塞曼效應，電磁場中的薛定諤方程，自旋單態與三重態。

1．理解斯特恩—蓋拉赫實驗．電子自旋回轉磁比率與軌道回轉磁比率。

2．熟練掌握自旋算符的對易關系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)、與自旋相聯系的測量值、概率和平均值等的計算以及其本征值方程和本征矢的求解方法。

3．了解電磁場中的薛定諤方程和塞曼效應的物理機制。

4．了解自旋-軌道耦合的概念、總角動量本征態的求解及堿金屬原子光譜的精細和超精細結構。

5．熟練掌握自旋單態與三重態求解方法及物理意義，了解自旋糾纏態概念。

第七章  定態問題的近似方法

重點：定態非簡并微擾輪，定態簡并微擾輪。

1．了解定態微擾論的適用范圍和條件，

2．掌握非簡并的定態微擾論中波函數一級修正和能級一級、二級修正的計算．

3．掌握簡并微擾論零級波函數的確定和一級能量修正的計算．

4．了解變分法的基本應用。

第八章  量子躍遷

重點：量子態隨時間的演化，突發微擾與絕熱微擾， 周期微擾和有限時間內的常微擾。

1．了解量子態隨時間演化的基本處理方法。掌握量子躍遷的基本概念。

2．了解突發微擾、絕熱微擾及周期微擾和有限時間內的常微擾的躍遷概率計算方法。

3．了解光的吸收與輻射的半經典理論，特別是選擇定則的定義及其作用。

4．了解氫原子一級斯塔克效應及其解釋。

四、參考教材或主要參考書：

1．《量子力學教程》 曾謹言著（科學出版社 2007年第2版）。

2．《量子力學教程》 周世勛 著（高等教育出版社 2009年第2版）。

五、樣卷

（一）名詞解釋題（每小題10分）

1．康普頓效應

2．隧道效應

（二）簡答題（每小題10分）

1．為什么要作幺正變換？

2．物理上可觀測量應該對應什么樣的算符？為什么？

3．力學量具有確定值，是不是說該力學量就是守恒量？

4．通過求解定態薛定諤方程，得到波函數 和 ，它們對應不同能級 和 ，那么 滿足薛定諤方程嗎？

（三）分析論述題（綜合題）

1．（15分）已知做一維直線運動的粒子處于狀態

（1）將 歸一化；

（2）求出粒子坐標取值概率為最大處的位置。

2．（15分）質量為 的粒子在阱寬為 的非對稱一維無限深方勢阱中運動，當 時，粒子處于如下狀態

（1）求 時的能量的取值概率；

（2）求 時的波函數 ；

（3）求 時的能量的取值概率。

3．（15分）設體系的哈密頓算符為

利用適當的變換求出體系的能量本征值與相應的本征矢。

4．（15分）在 與 的共同表象中，當 時，給出算符 的矩陣形式，進而求出算符 的本征值和歸一化的本征矢。

5．（15分）Pauli算符為

， ， ，

給定 方向單位矢量

證明

6．（15分）已知一個量子體系的哈密頓算符為 ，式中 可視為微擾，且有 ，算符 、 是厄米算符，

（1）若算符 、 、 在 的非簡并基態上的平均值已知，且分別記為 、 、 ，求 在微擾后的非簡并基態上的平均值，準確到 量級。

（2）將上述結果用在如下問題上，其中

，

計算在微擾后的非簡并基態上 （ ）的平均值，準確到 量級。