南昌航空大學2021年研究生入學考試初試大綱

考試科目名稱：數學分析

考試科目代碼：609

考試形式：筆試

考試時間：180分鐘

滿分： 150分

參考書目：《數學分析》上下冊（第四版），華東師范大學數學系編，高等教育出版社，2010。

一、試卷結構：

1、計算題，共6--7小題，共70分；2、證明題、論述題，共5—6題，共80分。

二、考試范圍：

（1）考查知識點

(一) 實數集與函數

1、實數：實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式;

2、數集、確界原理：區間與鄰域，有界集與無界集，上、下確界，確界原理;

3、函數概念：函數的定義，函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數；

4、具有某些特征的函數：有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。

(二) 數列極限

1、極限概念；

2、收斂數列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性；

3、數列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。

(三) 函數極限

1、函數極限的概念，單側極限的概念；

2、函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；

3、函數極限存在的條件：歸結原則，柯西準則；

4、兩個重要極限；

5、無窮小量與無窮大量，階的比較。

(四) 函數連續

1、函數連續的概念：一點連續的定義，區間連續的定義，單側連續的定義，間斷點及其分類；

2、連續函數的性質：局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性），復合函數的連續性，反函數的連續性*；

3、初等函數的連續性。

（五）導數與微分

1、導數概念：導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義；

2、求導法則：導數的四則運算、反函數的求導法則、復合函數的求導法則、基本求導法則與公式；

3、參變量函數的導數；

4、高階導數；

5、微分：微分的定義、微分的運算法則、高階微分、微分的應用。

（六）微分中值定理及其應用

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理

2、幾種特殊類型的不定式極限與洛必達法則；

3、泰勒公式；

4、函數的極值、最值；

5、函數凹凸性與拐點。

（七）實數完備性定理

1、實數完備性的基本定理：閉區間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理；

2、閉區間上連續函數的整體性質：有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致連續性定理。

（八）不定積分

1、不定積分概念與基本積分公式；

2、換元積分法與分部積分法；

3、有理函數和可化為有理函數的不定積分。

（九）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、函數可積的必要條件；

2、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

3、可積性條件：可積的必要條件和充要條件、可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)；

4、定積分的性質：定積分的基本性質、積分中值定理；

5、微積分基本定理—定積分計算：變限積分與原函數的存在性、換元積分與分部積分、泰勒公式的積分型余項。

（十）定積分的應用

1、定積分的幾何應用：平面圖形的面積、微元法、已知截面面積函數的立體體積、平面曲線的弧長與曲率、旋轉曲面的面積。

（十一）反常積分

1、反常積分的概念；

2、無窮積分的性質與收斂準則；

3、瑕積分的性質與收斂準則。

（十二）數項級數

1、級數的斂散性：無窮級數收斂，發散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質；

2、正項級數：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

（十三）函數列與函數項級數

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優級數判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質（連續性、可積性、可微性）。

（十四） 冪級數

1、冪級數：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質；

2、函數的冪級數展開與泰勒定理。

（十五）傅里葉級數

1、傅里葉級數：三角級數與正交函數系、傅里葉級數、收斂定理；

2、以2L為周期的函數的展開式；

3、收斂定理的證明。

（十六）多元函數的極限與連續

1、平面點集與多元函數的概念；

2、二元函數的極限、累次極限；

3、二元函數的連續性概念、連續函數的局部性質及初等函數連續性。

（十七）多元函數微分學

1、可微性：偏導數的概念，偏導數的幾何意義，偏導數與連續性；全微分概念；連續性與可微性，偏導數與可微性；

2、多元復合函數微分法及求導公式；

3、方向導數與梯度；

4、泰勒定理與極值。

（十八）隱函數定理及其應用

1、隱函數：隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導舉例；

2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式；

3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；

4、條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

（十九）含參量積分

1、含參量正常積分；

2、含參量反常積分：含參變量反常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的M判別法)，含參變量反常積分的性質。

（二十）曲線積分

1、第一型曲線積分的定義和計算；

2、第二型曲線積分的定義和計算、兩類曲線積分的聯系。

（二十一） 重積分

1、二重積分的概念：平面圖形的面積、二重積分的定義及其存在性、二重積分的性質；

2、直角坐標系下二重積分的計算；

3、格林公式，曲線積分與路線的無關性；

4、二重積分的變量變換，極坐標計算二重積分；

5、三重積分：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐標變換）；

6、重積分的應用。

（二十二）曲面積分

1、第一型曲面積分的概念和計算；

2、第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯系；

3、高斯公式與斯托克斯公式。

（二十三）向量函數微分學

1、n維歐氏空間與向量函數；

2、向量函數的微分;

3、反函數定理和隱函數定理。

（2）考查重點

(一) 實數集與函數

實數的性質，上、下確界，確界原理。

(二) 數列極限

極限概念，收斂數列的性質，數列極限存在的條件。

(三) 函數極限

函數極限的概念，函數極限的性質，函數極限存在的條件，兩個重要極限。

(四) 函數連續

函數連續的概念，連續函數的性質。

（五）導數與微分

導數概念，求導法則，微分的定義，微分的運算法則。

（六）微分中值定理及其應用

中值定理，不定式極限與洛必達法則，函數的極值、最值，函數凹凸性與拐點。

（七）實數完備性定理

有界性定理、最大小值性定理、介值定理的、一致連續性定理。

（八）不定積分

不定積分概念與基本積分公式，換元積分法與分部積分法。

（九）定積分

定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，定積分的性質。

（十）定積分的應用

平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，平面曲線的弧長與曲率，旋轉曲面的面積。

（十一）反常積分

反常積分的概念，無窮積分的性質與收斂準則，瑕積分的性質與收斂準則。

（十二）數項級數

級數的斂散性，正項級數判別法，交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質。

（十三）函數列與函數項級數

一致收斂性及一致收斂判別法，一致收斂的函數列與函數項級數的性質。

（十四） 冪級數

收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數的分析性質，函數的冪級數展開與泰勒定理。

（十五）傅里葉級數

三角級數與正交函數系，傅里葉級數。

（十六）多元函數的極限與連續

二元函數的極限，二元函數的連續性概念。

（十七）多元函數微分學

偏導數的概念，偏導數與連續性，全微分概念，連續性與可微性，偏導數與可微性，多元復合函數微分法及求導公式。

（十八）隱函數定理及其應用

隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導，條件極值。

（十九）含參量積分

含參量正常積分，含參量反常積分斂散性及其性質。

（二十）曲線積分

第一型曲線積分的定義和計算，第二型曲線積分的定義和計算，兩類曲線積分的聯系。

（二十一） 重積分

二重積分的定義及其存在性，二重積分的性質，直角坐標系下二重積分的計算，格林公式，極坐標計算二重積分，化三重積分為累次積分。

（二十二）曲面積分

第一型曲面積分的概念和計算，第二型曲面積分，兩類曲面積分的聯系，高斯公式與斯托克斯公式。

（二十三）向量函數微分學

n維歐氏空間與向量函數。