718高等代數

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為 150分，考試時間為 180分鐘．

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試．

三、試卷題型

計算題（50%）證明題（50%）.

四、考試內容及要求

（一）考試內容：

1. 多項式理論

多項式的整除關系；多項式的最大公因式性質、求法及證明；多項式的互素關系；多項式的可

約性判別；多項式有無重因式的判別；多項式的根理論；與矩陣有關的多項式問題.

2.行列式

n階行列式的定義、性質、計算及應用.

3. 矩陣

矩陣的運算（包括矩陣的線性運算、乘積運算、冪運算、轉置運算、逆運算、方陣的行列式運

算等）；分塊矩陣及其運算；伴隨矩陣、矩陣可逆性的判別及逆矩陣的求法；矩陣的秩（定義、求

法、矩陣的秩的等式或不等式的證明）；矩陣的初等變換及其應用；矩陣的特征多項式、特征值、

相似矩陣、矩陣的對角化；矩陣的分解（包括矩陣的和式分解、乘積分解）；特殊矩陣（包括單位

矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、初等矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、正交矩陣、正定矩陣、

對合矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣）的性質等.

4. 線性方程組

線性方程組有解的判別；會用 Cramer法則和初等變換法求解線性方程組；齊次線性方程組的基

礎解系、解空間和通解的求法；非齊次線性方程組的解與其導出組的解之間關系.

5. 線性空間與線性變換

線性空間的定義與性質；向量組的線性相關性及其判別；向量組的極大線性無關組的求法；線

性空間的基與維數的求法；基變換與坐標變換及過渡矩陣的求法；子空間的性質、生成及判別；交

空間與和空間的基與維數的求法；子空間直和的證明；線性空間同構的定義、性質及判別；兩個線

性空間之間的同構映射的建立等.

6. 線性變換

線性變換的定義、運算與性質；線性變換與矩陣的關系；線性變換的像空間與核空間的性質及

其求法；不變子空間的證明；線性變換的特征值與特征向量的性質及求法；相似矩陣的性質及判別；

線性變換可以對角化（矩陣可以對角化）的判別；求線性空間的一組基，使得線性變換關于這組基

的矩陣為對角形矩陣等.

7. 歐氏空間與線性變換

歐氏空間中向量的內積、長度、夾角、距離的性質與計算；正交組與標準正交組的性質；施密

特正交化過程；歐氏空間同構的判別；正交變換（正交矩陣）的性質及判別；對稱變換（對稱矩陣）

的性質及判別；子空間的正交補的性質及證明.

8. 二次型