2021年重慶交通大學碩士研究生入學初試

《高等數學》考試大綱

一、    考試總體要求：

《高等數學》課程考試旨在考察學生對高等數學的基本概念、基本理論、基本方法的掌握程度。主要內容有一元函數微積分，多元函數微積分以及級數等內容。要求學生在《高等數學》方面具有較強運算能力、嚴謹的抽象思維能力以及利用基本知識處理實際問題的綜合應用能力。

考試范圍

1．函數與極限

　  (1) 數列極限與函數極限的定義及其性質

(2) 函數的左極限和右極限，函數極限存在與左極限、右極限之間的關系.

(3) 無窮小量和無窮大量的概念及其關系,無窮小量的性質及無窮小量的比較.

(4) 極限的性質及極限運算法則.

(5) 極限存在的兩個準則:單調有界準則和夾逼準則,并會利用它們求極限，利用兩個重要極限求數列極限與函數的極限.

(6) 利用等價無窮小量求極限.

(7) 函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.

(8) 閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

2．導數與微分

　　(1) 導數和微分的概念，導數的幾何意義，求平面曲線的切線方程和法線方程，函數的可導性與連續性之間的關系.

　　(2) 導數的四則運算法則和復合函數的求導法則.

　　(3) 高階導數的概念，求初等函數的高階導數.

　　(5) 分段函數的導數，隱函數和由參數方程所確定的函數的導數.

3.微分中值定理與導數的應用

(1) 羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理.

　　(2) 用洛必達法則求未定式的極限.

　　(3) 函數的極值概念，用導數判斷函數的單調性和求函數的極值，函數最大值和最小值的求法及其應用.

　　(4) 用導數判斷函數圖形的凹凸性，求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線.

　　(5) 曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲線的曲率和曲率半徑.

4.一元函數積分學

　　(1)不定積分和定積分的概念.

　　(2)不定積分的基本公式，不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，換元積分法與分部積分法.

　　(3) 有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.

　　(4) 積分上限的函數及其導數，牛頓-萊布尼茨公式.

　　(5) 平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平面沿直線所做的功、水壓力.

　5．向量代數和空間解析幾何

　　(1)向量的概念及其表示.

　　(2)向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)，兩個向量垂直、平行的條件.

(3) 單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式， 利用坐標進行向量運算.

　　(4) 求平面的方程和直線的方程.

　　(5)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等))解決有關問題.

　　(6) 求點到直線以及點到平面的距離.

　　(7) 曲面方程和空間曲線方程的概念.

　　(8) 空間曲線的參數方程和一般方程，空間曲線在坐標平面上的投影，求該投影曲線的方程.

6.多元函數微分學

　　(1) 多元函數的概念，二元函數的幾何意義.

　　(2) 二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.

　　(3)多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分形式的不變性.

　　(4)方向導數與梯度的概念及其計算方法.

　　(5) 多元復合函數一階、二階偏導數的求法.

　　(6) 多元隱函數的偏導數.

　　(7) 空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

　　(8) 多元函數極值和條件極值的概念，多元函數極值存在的必要條件，二元函數極值存在的充分條件，二元函數的極值，拉格朗日乘數法求條件極值，求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

7.多元函數積分學

　　(1) 二重積分、三重積分的概念，重積分的性質，二重積分的中值定理.

　　(2)二重積分的計算(直角坐標、極坐標)，三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).

　　(3) 兩類曲線積分的概念，兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.

　　(4)兩類曲線積分的計算法.

　　(5) 格林公式,平面曲線積分與路徑無關的條件，二元函數全微分的原函數.

(6) 兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，計算兩類曲面積分的方法，

(7) 用高斯公式計算曲面積分.

　　(8) 用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、形心、轉動慣量、引力、功及流量等).

　　8、無窮級數

　　(1) 常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，收斂級數的基本性質.

　　(2) 正項級數收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別法.

　　(3) 交錯級數的萊布尼茨判別法.

　　(4) 任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系.

　　(5) 函數項級數的收斂域及和函數的概念.

　　(6) 冪級數收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.

　　(7) 冪級數和函數的重要性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和.

　　(8)幾類常用的基本初等函數的麥克勞林(Maclaurin)展開式，用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數.

二、考試形式與試卷結構

（一）考試形式

考試形式為筆試和閉卷，考試時間為3小時，滿分為150分。

（二）試卷結構

1. 計算題（100分）

2. 應用題（30分）

3. 證明題（20分）

三、主要參考書目

1.《高等數學》(第七版), 同濟大學數學系, 高等教育出版社, 2014年.