2021年湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

考試科目代碼：723            考試科目名稱：數學分析

一、考試內容及要點

1、極限論

考試內容

①  各種極限的計算； ② 單調有界收斂原理、致密性定理、確界原理、Cauchy收斂原理等實數基本理論的靈活應用； ③ 連續函數特別是閉區間上連續函數性質的運用； ④ 極限定義的熟練掌握等.

考試要點

（1）能熟練計算各種極限，包括單變量和多變量情形.

（2）能熟練利用六個實數基本定理尤其是單調有界收斂原理、致密性定理、確界原理、Cauchy收斂原理進行各種理論證明．

（3）能熟練掌握單變量連續函數特別是閉區間上連續函數的各種性質，并能利用這些性質進行計算和證明；掌握多變量連續函數的性質尤其是有界閉域上連續函數的性質，能利用這些性質進行計算和證明．

（4）熟練掌握各種極限的定義，并能用邏輯術語進行理論證明.

2、單變量微分學

考試內容

①     微分中值定理（包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等）

的靈活運用（包括單調性討論、極值的求取、凸凹性問題、等式和不等式的證明等）； ② Talor公式的靈活運用（包括用Lagrange余項形式證不等式、用Peano余項形式估計階以及求極限等）；③ 各種形式導數的計算； ④ 導數的定義和運用等.

考試要點

（1）熟練掌握微分中值定理，包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的條件和結論，能熟練利用這些定理進行理論證明或計算，包括函數單調性討論、極值的求取、凸凹性問題的討論、等式和不等式的證明等．

（2） 熟練掌握Talor公式的條件和結論，并能做到靈活運用，尤其是利用Lagrange余項形式證不等式、Peano余項形式估計階以及求極限等.

（3）熟練掌握復合函數導數的計算和高階導數的計算．

（4）熟練掌握導數的定義和性質，能用邏輯語言進行理論證明，熟練掌握利用導數定義進行證明或計算.

3、單變量積分學

考試內容

①     各種不定積分和定積分的熟練計算，尤其是計算中的處理技巧；  ② 廣義

積分的計算和斂散性判別； ③ 定積分的定義和性質的靈活運用等.

考試要點

（1）熟練計算各種不定積分、定積分，熟練掌握湊微分法、換元法、分部積分法以及常用的計算技巧，熟練掌握奇偶函數、周期函數的積分特點．

 （2）熟練掌握廣義積分的計算，熟練掌握區間無限型、函數無界型以及混合型廣義積分的斂散性判別，并能進行理論證明．

 （3）熟練掌握定積分的定義，能利用定積分的定義進行極限的計算，熟練掌握定積分的性質，并能利用這些性質進行理論證明，掌握常用可積函數類．

4、級數論

考試內容

①     各種數項級數尤其是正項級數的斂散性判別；② 數項級數的性質

③ 函數列和函數項級數的一致收斂性判別，給定函數Fourier級數的展開和特殊點的收斂性；④函數列和函數項級數一致收斂性質的靈活運用 ；⑤冪級數的收斂性和展開等知識的熟練掌握.

考試要點

（1）熟練掌握級數的斂散性判別，尤其是正項級數和交錯級數斂散性判別.

（2）掌握數項級數的一些常用性質，尤其是絕對收斂級數與條件收斂結束的常規性質.

（3）熟練掌握函數列和函數項級數一致收斂性的判別，尤其是用定義、優級數判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法判別函數項級數的一致收斂性，熟練掌握給定函數的Fourier展開，能給出Fourier級數在特殊點的收斂性.

（4）熟練掌握函數列和函數項級數一致收斂性的性質運用，包括連續性、可積性和可微性，能利用這些性質進行理論證明.

（5）熟練掌握冪級數收斂區間的求法，熟練掌握常規函數的冪級數展開，并掌握一些特殊冪級數和函數的求法.

5、多變量微分學和參變量積分

考試內容

① 可微的定義； ② 求復合函數以及隱函數的偏導數； ③  多元函數極值理論； ④ 參變量積分的一致收斂性判別； ⑤  參變量積分的計算； ⑥ 參變量積分一致收斂性質的運用等.

考試要點

（1）掌握多元函數可微的定義，能熟練利用定義證明某些常規函數的可微性，掌握多元函數可微、連續、可求偏導之間的關系.

（2）熟練掌握多元函數復合函數求偏導數尤其是高階偏導數，掌握方程或方程組確定的隱函數偏導的計算.

（3）熟練掌握多元函數極值的計算，并能計算有界閉域上連續函數的最值..

（4）熟練掌握含參變量廣義積分一致收斂性的判別.

（5）熟練掌握含參變量常義積分和廣義積分的計算.

（6）熟練掌握含參變量常義積分和廣義積分的連續性、可積性和可導性，并能利用這些性質進行計算和證明..

6、多元積分學

考試內容

①二重積分、三重積分的計算； ② 格林公式、高斯公式的靈活運用；③兩類曲線積分、兩類曲面積分的計算；④ 各種積分之間的相互關系等

考試要點

（1）熟練掌握二重積分、三重積分的計算，熟練掌握降維、換元法，尤其是極坐標、球坐標變換.

（2）熟練掌握Gree公式、Gauss公式的條件和結論.

（3）熟練掌握第一類和第二類曲線積分和曲面積分的計算.

（4）掌握平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數，熟練掌握利用Gree公式求第二類曲線積分、利用Gauss公式求第二類曲面積分、利用Stokes公式求空間第二類曲線積分..

二、參考書目

[1]     復旦大學數學系編. 數學分析. 高等教育出版社, 1979

[2]     華東師范大學數學系編.  數學分析 高等教育出版社, 2001

[3] 張學軍、王仙桃等編. 數學分析選講. 湖南師范大學出版社，2012