2021年湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

考試科目代碼：[]               考試科目名稱：實變函數

 一、考試內容及要點

（一）測度論與可測函數部分

1、n維歐式空間中的點集

考試內容：開集、閉集的構造、分離定理

考試要點：

l  要求考生熟練掌握開集閉集的概念及其構造定理。

l  要求考生理解Cantor集。

l  要求考生熟練掌握分離定理。

2、測度論

考試內容：Lebesgue 外測度，可測集、可測集類

考試要點：

l  測度的定義和性質； 

l  掌握Lebesgue 外測度和測度的定義和基本性質； 

l  練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性質。 

l  掌握零測集的性質；開集、閉集的可測性； 

l  了解特殊的兩類集合，波雷耳集。

3、可測函數

考試內容：可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的構造，依測度收斂

考試要點：

l  熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾乎處處成立的概念；  

l  理解葉果洛夫定理；  

l  理解并掌握魯津定理及其逆定理；

l  熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反例，Riese定理和Lebesgue收斂定理

（二）Lebesgue積分與不定積分部分

 1、Lebesgue積分的概念與性質

考試內容：勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的極限定理

考試要點：

l  理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運算， 勒貝格積分與Riemann積分的關系； 

l  熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性； 

l  熟練掌握一般可積函數的L積分的定義和初等性質。

l  牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理及有關積分與求導交換的定理。

2、微分和不定積分

考試內容：有界變差函數、絕對連續函數

考試要點：

l  熟練掌握有界變差的定義，理解Lebesgue定理；

l  充分理解絕對連續函數，并理解絕對連續函數與不定積分的關系。

二、參考書目

[1] 江澤堅等編《實變函數論》（第3版），高等教育出版社，2007年第3版 .

[2] 程其襄等編《實變函數與泛函分析基礎》，高等教育出版社，2003年第2版 .