2021年湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

考試科目代碼：[ ]               考試科目名稱：泛函分析

一、考試內容及要點

1、距離空間和賦范線性空間

考試內容

（1）距離空間：距離空間的概念，距離空間中的開集閉集，稠密性與可分性，連續映射的概念，距離空間中的完備性，列緊集，緊集及其上連續映射，具體空間列緊集的判定定理，壓縮映射原理及其應用。

（2）賦范線性空間：線性空間、范數、賦范線性空間、Banach空間等概念，賦范線性空間上范數的等價性，常見的具體Banach空間及其常用的范數的定義。

考試要點

（1）熟悉距離空間的概念和一些具體的距離空間；理解距離空間中的開集閉集，稠密集與空間的可分性；熟練掌握連續映射的概念、距離空間中的完備性、列緊集和緊集以及其上連續映射的性質；掌握具體空間列緊集的判定法；熟練掌握壓縮映射原理，并會用壓縮映射原理分析映射的不動點。

（2）理解線性空間、范數、賦范線性空間等概念；掌握Banach空間、線性賦范空間上范數的等價性；熟悉某些常見Banach空間中常用的范數的定義。

2、有界線性算子與連續線性泛函

考試內容

有界線性算子和連續線性泛函的概念和其性質，線性算子空間、共軛（對偶）空間，某些常見Banach空間的共軛空間。

考試要點

掌握有界線性算子和連續線性泛函的概念和其性質，并會計算界線性算子和連續線性泛函的范數；理解線性算子的連續性和有界性，熟悉算子空間、共軛（對偶）空間的基本性質和某些常見Banach空間的共軛空間。

 3、Hilbert空間

考試內容

內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征、正交系、正規正交基、正交化，Hilbert空間的同構，射影定理、Hilbert空間上的Riesz表示定理。

考試要點

熟悉內積空間的基本概念與基本性質、幾何特征；熟練掌握正交系、正規正交基、正交化、射影定理；理解Hilbert空間的同構、Hilbert空間上的Riesz表示定理。

4、Banach空間的基本定理

考試內容

Hahn-Banach延拓定理及其推論，Riesz表示定理及應用，共軛算子及其性質，第一、第二綱的集，綱定理，一致有界定理及應用，開映射定理，閉圖象定理，弱收斂和弱 收斂。

考試要點

熟練掌握Hahn-Banach延拓定理的推論、Riesz表示定理、一致有界定理及應用、開映射定理、閉圖象定理；掌握共軛算子及其性質；理解Hahn-Banach延拓定理、第一、第二綱的集；了解弱收斂和弱 收斂。

二、參考書目：

[1] 江澤堅，孫善利， 泛函分析，高等教育出版社。

[2] 程其襄等， 實變函數論與泛函分析基礎， 高等教育出版社。