2021年湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

考試科目代碼：[958]               考試科目名稱：數學基礎綜合

一、考試內容及要點

（一）數學分析部分

1、函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法　函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性　復合函數、反函數、分段函數和隱函數　基本初等函數的性質及其圖形　初等函數　函數關系的建立

數列極限與函數極限的定義及其性質　函數的左極限和右極限　無窮小量和無窮大量的概念及其關系　無窮小量的性質及無窮小量的比較　極限的四則運算　極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則　兩個重要極限  

函數連續的概念　函數間斷點的類型　初等函數的連續性　閉區間上連續函數的性質

考試要點

（1）理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系.

（2）了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．

（3）理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．

（4）掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.

（5）理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系．

（6）掌握極限的性質及四則運算法則.

（7）掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．

（8）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．

（9）理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型．

（10）了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．

2、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念　導數的幾何意義　函數的可導性與連續性之間的關系　平面曲線的切線和法線　導數和微分的四則運算 基本初等函數的導數　復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法　高階導數 一階微分形式的不變性　微分中值定理　洛必達（L’Hospital）法則　函數單調性的判別  函數的極值　函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線　函數圖形的描繪　函數的最大值與最小值　

考試要點

（1）理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數的可導性與連續性之間的關系．

（2）掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分．

（3）了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．

（4）會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.

（5）理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理．

（6）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．

（7）理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用．

（8）會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．

3、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念　不定積分的基本性質　基本積分公式　定積分的概念和基本性質　定積分中值定理　積分上限的函數及其導數　牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法　有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分　反常（廣義）積分　定積分的應用

考試要點

（1）理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念．

（2）掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．

（3）會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分．

（4）理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式．

（5）了解反常積分的概念，會計算反常積分．

（6）掌握用定積分表達和計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積.

4、多元函數微分學

考試內容

多元函數的概念　二元函數的幾何意義　二元函數的極限與連續的概念 有界閉區域上多元連續函數的性質　多元函數的偏導數和全微分　全微分存在的必要條件和充分條件 多元復合函數、隱函數的求導法  二階偏導數　方向導數和梯度　空間曲線的切線和法平面　曲面的切平面和法線　二元函數的二階泰勒公式　多元函數的極值和條件極值　多元函數的最大值、最小值及其簡單應用

考試要點

（1）理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

（2）了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.

（3）理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.

（4）理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法.

（5）掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法.

（6）了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.

（7）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

（8）了解二元函數的二階泰勒公式.

（9）理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

5、多元函數積分學

考試內容

二重積分的概念、性質、計算和應用　

考試要點

（1）理解二重積分的概念，了解二重積分的性質，了解二重積分的中值定理.

（2）掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）.

6、無窮級數

考試內容

常數項級數的收斂與發散的概念　收斂級數的和的概念　級數的基本性質與收斂的必要條件　幾何級數與p級數及其收斂性　正項級數收斂性的判別法　交錯級數與萊布尼茨定理　任意項級數的絕對收斂與條件收斂　冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域　冪級數的和函數　冪級數在其收斂區間內的基本性質 簡單冪級數的和函數的求法　初等函數的冪級數展開式

考試要點

（1）理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.

（2）掌握幾何級數與 級數的收斂與發散的條件.

（3）掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法和柯西（Caucy）積分判別法.

（4）掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.

（5）了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系.

（6）理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.

（7）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和.

（8）了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件.

（9）掌握ex，sinx，(1+x)c，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數.

（二）高等代數

   1、多項式

考試內容

數域，一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項式函數，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式。

考試要點

（1）掌握數域的定義，并會判斷一個代數系統是否是數域。

（2）理解數域P上一元多項式的定義，多項式相乘，次數，一元多項式環等概念。掌握多項式的運算及運算律。

（3）理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質。

（4）理解和掌握兩個（或若干個）多項式的最大公因式，互素等概念及性質。能用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式。

（5）掌握不可約多項式的定義及性質。了解因式分解定理。

（6）掌握k重因式的定義。

（7）掌握多項式函數的概念，余數定理，多項式的根及性質。理解代數基本定理。熟練掌握復（實）系數多項式分解定理及標準分解式。

（8）掌握本原多項式的定義及性質。 掌握整系數多項式的有理根的計算。

2、行列式

考試內容

排列，n級行列式的定義，n級行列式的性質，n級行列式的展開，行列式的計算，克拉默(Cramer)法則，行列式的乘法規則。

    考試要點

（1）掌握排列、逆序、逆序數、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對換的關系。

（2）理解n級行列式的定義，并能用定義計算一些特殊行列式。

（3）掌握行列式的基本性質。

（4）理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質計算一些簡單行列式。

（5）理解元素的余子式、代數余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握計算行列式的基本方法與技巧。

（6）熟練掌握克拉默(Cramer)法則，

    3、線性方程組

考試內容

消元法，n維向量空間，線性相關性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構。

考試要點

（1）掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質。掌握階梯形方程組的特征及作用。會求線性方程組的一般解。

（2）掌握n維向量及兩個n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運算規律和性質。

（3）理解線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質。掌握兩個向量組等價的定義及等價性質定理。理解向量組的極大無關組、秩的定義，并會求向量組的一個極大無關組。

（4）掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關系。

（5）掌握線性方程組的有解判別定理，掌握線性方程組的公式解。

（6）理解齊次線性方程組的基礎解系。掌握基礎解系的求法、線性方程組的結構定理。并對有解的一般線性方程組，會求其全部解。

4、矩陣

考試內容

矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應用。

考試要點

（1）掌握矩陣的的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律。

（2）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。

（3）掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣。

（4）理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質。

（5）掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關系，掌握一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件；會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣。

（6）理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系，會求分塊矩陣的逆。

5、二次型

考試內容

二次型的矩陣表示，標準型，唯一性，正定（半正定）二次型。

考試要點

（1）正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及二次型與對稱矩陣的一一對應關系，掌握矩陣的合同概念及性質。

（2）理解二次型的標準形，掌握化二次型為標準形的兩種基本方法。

（3）理解復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性，了解符號差、慣性指數等概念，掌握慣性定理的證明思想。

（4）理解正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價條件。

   6、線性空間

考試內容

集合、映射，線性空間的定義與簡單性質，維數、基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。

考試要點

（1）掌握線性空間的定義及性質，會判斷一個代數系統是否為線性空間。

（2）理解線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念，正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質。

（3）基變換與坐標變換的關系。

（4）掌握基之間的過渡矩陣及其性質。

（5）理解線性子空間的定義及判別定理，掌握線性方程組的解空間的概念和性質，掌握向量組生成子空間的定義及等價條件。

（6）掌握子空間的交與和的定義及性質，掌握維數公式并能熟練運用。

（7）理解子空間的直和的概念，以及判斷直和的若干充要條件。

   7、線性變換

考試內容

線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若爾當(Jordan)標準形介紹。

考試要點

（1）掌握線性變換的定義及性質。

（2）掌握線性變換的運算及運算規律，理解線性變換的多項式。

（3）掌握線性變換與矩陣的聯系，掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質。

（4）理解矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質，會求一個矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈密頓-凱萊定理。

（5）掌握n維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的充要條件。

（6）掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念，掌握線性變換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系。

（7）掌握不變子空間的定義，會判定一個子空間是否是A-子空間，理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系，掌握將空間V按特征值分解成不變子空間和直和表達式。

（8）了解若爾當(Jordan)標準形及其相關性質。

    8、歐幾里德空間

考試內容

定義與基本性質，標準正交基，同構，正交變換，子空間，實對稱矩陣的相似標準形，向量到子空間的距離。

考試要點

（1）理解歐氏空間的定義及性質，理解內積的本質，掌握向量的長度，兩個向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質，掌握各種概念之間的聯系和區別。

（2）理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關的向量化為單位正交的向量。

（3）理解正交變換的概念及幾個等價關系，掌握正交變換與向量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系。

（4）理解兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系，及有限維歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。

（5）理解并掌握任一個實對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實二次型為標準型。

二、參考書目

1、復旦大學數學系編.數學分析（第三版）. 高等教育出版社, 2007

2、北京大學數學系編 ，高等代數 (第三版)，高等教育出版社, 北京（2003）；