湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱

考試科目代碼：[602]           考試科目名稱：高等數學

一、考試內容及要點

微積分與線性代數

1、函數與極限（適用于地圖學與地理信息系統專業和自然地理學專業）

考試內容

(1)函數：函數的概念及表示法；函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；復合函數、反函數、分段函數和隱函數；基本初等函數的性質及其圖形，初等函數；簡單應用問題的函數關系的建立。

(2)極限：數列極限與函數極限的定義及其性質；函數的左極限與右極限；無窮小和無窮大的概念及其關系；無窮小的性質及無窮小的比較；極限的四則運算，極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限。

(3)連續：函數連續的概念；左連續與右連續，函數間斷點的類型；連續函數的四則運算法則，復合函數的連續性，反函數的連續性，初等函數的連續性；閉區間上連續函數的性質(有界性定理，最大值、最小值定理，介值定理)。

考試要點

理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式；了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念；掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的基本概念；理解極限的概念；理解函數左極限與右極限的概念，掌握函數極限存在與左、右極限之間的關系；掌握極限的性質及四則運算法則，掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法；理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限；理解函數連續性的概念，會判別函數間斷點的類型；了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質，并會應用這些性質。

2、一元函數的微積分（適用于地圖學與地理信息系統專業和自然地理學專業）

考試內容

(1)導數與微分：導數和微分的定義，左導數與右導數，導數的幾何意義；函數的可導性、可微性與連續性的關系；導數和微分的四則運算法則，導數和微分的基本公式；復合函數、反函數、隱函數和由參數方程所確定的函數的求導法，高階導數，一階微分形式的不變性。

(2)微分中值定理及導數的應用：微分中值定理（羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理）， 洛必達法則，泰勒公式；函數單調性的判別，函數的極值，函數的最大、最小值；函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線。

(3)不定積分：原函數和不定積分的概念；不定積分的基本性質，不定積分的基本公式；不定積分換元積分法和分部積分法；有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分。

(4)定積分：定積分的概念和基本性質，定積分的幾何意義；變上限積分定義的函數及其導數，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法；廣義積分，定積分的應用。

考試要點

理解導數的概念及其幾何意義，理解函數可導性、可微性、連續性之間的關系；會求平面曲線的切線方程和法線方程；熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則及復合函數的求導方法，會求反函數、隱函數和由參數方程所確定的函數的導數；了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數；了解微分的概念，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

理解并會應用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理、泰勒公式；熟練掌握用洛必達法則求未定式極限的方法；掌握利用導數判斷函數單調性的方法，會用單調性證明不等式；理解函數極值的概念，掌握求函數的極值與最大、最小值的方法，并會求解簡單的應用問題；會判斷平面曲線的凹凸性，會求平面曲線的拐點；會求平面曲線的水平、鉛直漸近線。

理解原函數和不定積分的概念；掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法；會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分；理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式；掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功）；了解廣義積分的概念，會計算廣義積分。

3、多元函數微積分（適用于地圖學與地理信息系統專業和自然地理學專業）

考試內容

(1)多元函數的概念，二元函數的幾何意義；多元函數的極限和連續性；偏導數和全微分，多元函數可微性、偏導數存在性、連續性之間的關系；復合函數和隱函數的求導法，二階偏導數，多元函數的極值。

(2)二重積分的概念與性質，二重積分的幾何意義；二重積分的計算。

(3)三重積分的概念與性質，三重積分的幾何意義；三重積分的計算。

(4)曲線積分和曲面積分的概念與性質；曲線積分和曲面積分的計算。

考試要點

了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義；了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數；了解多元函數極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，會求解一些簡單的應用題；了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法，會交換積分次序。了解三重積分的概念與基本性質，掌握三重積分（直角坐標、柱面坐標）的計算方法。了解曲線積分和曲面積分的概念與基本性質，掌握兩類曲線積分和曲面積分的計算方法，掌握格林公式的應用。

4、無窮級數（適用于地圖學與地理信息系統專業和自然地理學專業）

考試內容

常數項級數的收斂與發散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與收斂的必要條件，幾何級數與p級數及其收斂性，正項級數收斂性的判別法，交錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，函數項級數的收斂域與和函數的概念，冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域，冪級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的基本性質，簡單冪級數的和函數的求法，初等函數的冪級數展開式。

考試要點

理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件；掌握幾何級數與p級數的收斂與發散的條件；掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法；掌握交錯級數的萊布尼茨判別法；了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系。了解函數項級數的收斂域及和函數的概念；理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和；了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件；掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)及(1+x)n的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數。

5、行列式（僅適用于地圖學與地理信息系統專業）

考試內容

n階行列式、全排列(包括奇排列和偶排列)、逆序數、對換的概念；二階、三階行列式和逆序數的計算；特殊行列式的計算：對角行列式、三角行列式；范德蒙德行列式；對換定理；行列式的性質及其高階行列式的運算；行列式按行和按列展開的法則；利用克來默法則解線性方程組；根據系數行列式的值分析和判斷線性方程組的解。

考試要點

了解并能運用行列式的基本性質計算行列式的值；掌握行列式展開式的計算方法；了解利用克來默法則解線性方程組。掌握并能應用系數行列式的值分析和判斷線性方程組解的情況。

6、矩陣（僅適用于地圖學與地理信息系統專業）

考試內容

矩陣的基本概念；矩陣的運算：矩陣的加法、數與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘；逆矩陣的計算；矩陣分塊法；初等矩陣的基本概念、矩陣的初等變換、矩陣的等價、矩陣的秩；行最簡式；矩陣秩的求算；矩陣的三種初等矩陣；初等矩陣與初等變換的性質；n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；n元非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

考試要點

掌握矩陣的概念及運算，了解逆矩陣的概念與性質，熟練應用矩陣的初等變換計算逆矩陣和矩陣的秩，對矩陣進行初等變換化行最簡形；熟練掌握應用矩陣的初等變換求線性方程組的解。

7、向量組（僅適用于地圖學與地理信息系統專業）

考試內容

n維向量、向量組的線性相關性、線性組合、線性表示、向量組等價、線性無關、線性相關、最大無關組、向量組的秩、向量空間的基本概念；向量組的線性相關性，向量組線性相關的充分必要條件，向量組的最大無關組與秩；向量組的線性表示與向量組秩的關系；等價的向量組；向量空間，向量空間的子空間；線性方程組的解的結構，n元齊次線性方程組的解空間以及解空間的基，n元非齊次線性方程組的解空間以及解空間的基；向量的內積、正交基、規范正交基、正交矩陣及相似矩陣的基本概念；矩陣特征值、特征方程、特征向量的計算、特征多項式；正交向量組的性質；方陣的特征值與特征向量；施密特正交化過程；特征向量線性無關的條件；相似矩陣滿足的條件；n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件；對稱矩陣的相似矩陣；正定矩陣的判定。

考試要點

掌握向量的運算法則、向量組的線性相關、線性無關的概念以及有關性質，會求向量組的最大無關組和；能熟練求出線性方程組的通解；能應用線性相關、線性無關的性質證明相關命題。理解矩陣的特征值和特征向量的概念，會計算矩陣的特征值和特征向量；熟悉矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件，了解對稱矩陣的特征值和特征向量的性質；能熟練求解n元線性方程組的結構通解；能熟練掌握正定矩陣的判定。

二、參考書目

[1] 同濟大學數學教研室編，高等數學（上、下）（第六版），高等教育出版社，2007。

[2] 同濟大學數學教研室編，線性代數 (第六版)，高等教育出版社，2008。