海南師范大學全國碩士研究生招生自命題考試大綱

考試科目代碼：[615]              考試科目名稱：數學分析

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一、考試形式與試卷結構

（一）試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷結構

計算題、解答題、證明題等

二、考試目標：

1.掌握數學分析的基本概念和基礎知識。

2.理解數學分析的基本理論和基本方法。

3.運用數學分析的基本理論和方法來分析、解決相關的實際問題。

三、考試范圍：

（一）實數集與函數

實數的性質、確界原理，函數概念，函數的奇偶性、周期性、有界性、無界性，復合函數和反函數，初等函數。

（二）極限與函數的連續性

數列和函數極限的概念，極限的四則運算及其性質，單調有界原理，Heine定理，二個重要極限，函數的連續性，間斷點，初等函數的連續性及其性質，閉區間上連續函數的性質，無窮小量與無窮大量的比較。

（三）導數與微分

導數定義，導數的幾何意義，導數的四則運算、反函數的求導法則和復合函數求導的鏈式法則；隱函數與參數方程確定的函數的求導法則；高階導數；微分概念與微分的幾何解釋；微分法則，一階微分的形式不變性。

（四）微分中值定理及其應用

極值概念；Fermat定理和微分中值定理(Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理)；泰勒公式， L'Hospital法則；利用導數研究函數的各種性質(單調性與極值，函數的凸性)； 函數極值的判別法；利用導數求函數的漸近線并且繪制函數的圖像。

（五）實數的完備性

區間套定理；聚點定理；有限覆蓋定理。

（六）不定積分

原函數和不定積分的概念；不定積分的基本公式；換元積分法，分部積分法；有理函數的積分；三角函數有理式的積分；某些無理函數的積分。

（七）定積分

定積分概念及其幾何意義；定積分的基本性質；函數的一致連續性，康托定理； Newton-Leibniz公式；定積分換元積分法和分部積分法。

（八）定積分的應用

微元法；定積分在幾何上的應用（平面圖形的面積，已知截面積的立體體積，旋轉體的體積，平面上的光滑曲線的弧長，曲線曲率）；定積分在物理上的應用（總壓力問題，變力作功問題）。

（九）廣義積分

無窮積分和瑕積分的概念及其斂散性（包括絕對收斂和條件收斂），無窮積分和瑕積分的性質，Cauchy收斂準則，比較判別法，積分第二中值定理，Abel阿貝爾判別法和Dirichlet判別法。

（十）數項級數

數項級數的收斂和發散，級數收斂的必要條件，收斂級數的基本性質，正項級數收斂的判別法(比較判別法、比值判別法、根式判別法、拉阿比判別法、積分判別法) ；交錯級數和Leibniz判別法，絕對收斂與條件收斂，柯西收斂原理，Abel變換以及關于一般數項級數的Abel阿貝爾判別法和Dirichlet判別法,級數的重排問題及乘積問題。

（十一） 函數項級數

函數列一致收斂性概念及其幾何意義，函數列一致收斂性的判別法，一致收斂函數列的極限函數的分析性質(連續性、可積性、可微性)；函數項級數一致收斂性概念，一致收斂的Cauchy收斂準則，函數項級數一致收斂的必要條件，函數項級數一致收斂性的判別法 (M判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法)，一致收斂的函數項級數的和函數的分析性質(連續性、可積性、可微性)。

（十二） 冪級數

冪級數的收斂域和收斂半徑，Abel第一定理和第二定理，冪級數和函數的性質(連續性、可積性、可微性)，函數的冪級數展開。

（十三）傅里葉級數

三角函數系，三角級數的概念，以2p為周期的函數的Fourier級數，Fourier級數的收斂定理，函數的Fourier級數展開法。

（十四） 多元函數的極限與連續

平面點集的有關概念(區域、距離、聚點、開集和閉集等)，二維空間的基本定理(矩形套定理、致密性定理、Cauchy收斂原理、有限覆蓋定理)，多元函數的極限和連續性，多元函數的累次極限，有界閉區域上的連續函數的性質(有界性、最值性、介值性、一致連續性)。

（十五）偏導數與全微分

偏導數的概念，全微分的概念，偏導數與微分的關系；多元復合函數的微分法，多元函數一階微分形式的不變性，高階偏導數；方向導數的概念及求法，多元函數的Taylor公式。

（十六）隱函數存在定理

單個方程的隱函數存在定理，方程組的隱函數組存在定理，反函數組存在定理。

（十七）極值和條件極值

多元函數極值（條件極值與無條件極值）概念，穩定點概念，多元函數無條件極值的必要條件和充分條件，求多元函數無條件極值的Lagrange乘數法。

（十八）含參變量的積分

含參變量的正常積分概念，含參變量的正常積分的分析性質（連續性定理、積分次序交換定理與積分號下求導定理），含參變量的正常積分的計算；含參變量的廣義積分的一致收斂概念，含參變量的廣義積分的一致收斂的判別法（Cauchy收斂原理、Weierstrass判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法及Dini定理）；一致收斂積分的分析性質（連續性定理、積分次序交換定理與積分號下求導定理）；Euler積分：Beta函數和Gamma函數的定義、性質、遞推公式及二者之間的關系。

（十九） 重積分

重積分的概念及其基本性質，化重積分為累次積分的計算方法；重積分的變量代換，極坐標變換，柱坐標變換，球坐標變換；曲面面積的計算，重積分在物理中的應用（質心，轉動慣量等）。

（二十）曲線積分與曲面積分

第一型曲線積分的概念，第一型曲線積分的性質（線性性與路徑可加性），第一型曲線積分的計算公式及其應用；第一型曲面積分的概念、計算及應用。第二型曲線積分的概念及性質（方向性、線性性與路徑可加性），第二型曲線積分的計算公式及其應用；理解曲面的側的相關概念，第二型曲面積分的概念及性質（方向性、線性性與曲面可加性），第二型曲面積分的計算及應用。

（二十一） 各種積分間的聯系

Green公式，用Green公式計算曲線積分及求區域的面積，曲線積分與路徑無關的條件及其應用；Gauss公式及其應用，Stokes公式及其應用。

四、主要參考書目

1.《數學分析》（上、下），華東師大數學系編，高等教育出版社2010。