2021年贛南師范大學碩士研究生入學考試考研大綱

《數學分析》課程考試大綱

一、試卷滿分及考試時間

 試卷滿分150分，考試時間3小時

二、試題題型結構

計算題，證明題

三、主要參考書

《數學分析》, 華東師范大學數學系編，高等教育出版社，第五版

四、試卷考查內容比例

    1. 實數集與函數，數列極限，函數極限，函數的連續性.（15%）

    2. 導數與微分，微分學基本定理與不定式極限，運用導數研究函數性質.（15%）

    3. 不定積分，定積分，定積分的應用.（15%）

    4.數項級數，函數列與函數項級數，冪級數，付里葉級數.（15%）

    5  多元函數的極限與連續，多元函數的微分學.（15%）

    6．隱函數定理及其應用.（5%）

    7．重積分，含參量非正常積分.（10%）

    8．曲線積分與曲面積分.（10%）

五、考查內容

(一) 實數集與函數

（1）理解確界的概念，掌握確界原理。

（2）理解函數的概念，理解函數奇偶性、單調性、周期性和有界性的概念。

 (二)數列極限

（1）理解數列極限概念及收斂數列的性質，掌握數列極限存在的充要條件。

（2）掌握求數列極限的基本方法。

 (三)函數極限

（1）理解函數極限的概念及函數極限的性質，掌握函數極限存在的充要條件。

（2）掌握兩個重要極限。

（2）掌握求函數極限的基本方法。

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念。

(四) 函數的連續性

（1）理解函數連續性的概念。

（2）掌握連續函數的性質，反函數的連續性，理解一致連續性。

 (五) 導數與微分

（1）理解導數和微分的概念。

（2）掌握導數和微分的運算法則。

（3）了解微分在近似計算中的應用。

（4）理解高階導數的概念。

(六)微分中值定理及其應用

（1）理解羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒公式。

（2）掌握洛必達法則。

（3）掌握用導數判斷函數的極值、最值、單調性、凹凸形、拐點、漸近線的方法。

（4）會描繪簡單函數的圖形。

(七)實數完備性定理

（1）掌握實數完備性定理，能較好地運用完備性定理解決有關問題。

（2）理解上極限、下極限概念。

(八)不定積分

（1）理解不定積分的概念，掌握不定積分的性質。

（2）掌握不定積分的計算方法。

(九)定積分

（1）理解定積分的概念，掌握定積分的性質，理解可積條件。

（2）理解微積分基本定理，掌握定積分的計算方法。

(十)定積分的應用

掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉體的體積及側面積，變力作功，重心等。

（十一）反常積分

（1）掌握反常積分概念。

（2）掌握兩類反常積分的性質及收斂判別方法。

(十二)數項級數

（1）理解數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念。

（2）掌握正項級數斂散判別法。

（3）掌握交錯級數的萊布尼茲判別法，了解任意項級數絕對收斂和條件收斂的概念。

(十三)函數列與函數項級數

（1）理解函數列和函數項級數的一致收斂性的概念。

（2）掌握一致收斂性的判別方法。

（3）掌握一致收斂函數列與函數項級數的性質。

(十四)冪級數

（1）掌握冪級數的收斂區間，理解冪級數的基本性質。

（2）掌握 的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數。

(十五)傅里葉級數

（1）理解傅里葉級數的概念，掌握付里葉級數的收斂定理。

（2）理解周期函數的傅里葉級數，偶函數和奇函數的傅里葉級數。

(十六)多元函數的極限與連續

（1）理解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函數的性質。

（2）了解重極限與累次極限之間的關系。

(十七)多元函數的微分學

（1）理解多元函數偏導數和全微分的概念，掌握偏導數和全微分的計算，掌握全微分存在的必要條件和充分條件。

（2）理解方向導數與梯度的概念。

（3）掌握二元函數的泰勒公式。

（4）掌握二元函數的極值、最值得計算。

(十八)隱函數定理及其應用

（1）理解隱函數，隱函數組，反函數組存在定理，會求隱函數(包括由方程組確定的隱函數)的偏導數。

（2）理解多元函數條件極值的概念，會用拉格朗日乘數法求條件極值。

(十九)重積分

（1）理解二重積分、三重積分的概念。

（2）掌握二重積分(直角坐標，極坐標)的計算方法。

（3）掌握三重積分(直角坐標，極坐標，球面坐標)的計算方法。

（4）會用重積分解決一些實際應用問題。

(二十)含參量非正常積分

（1）掌握含參量非正常積分的一致收斂概念及判別法。

（2）掌握含參量非正常積分的性質。

（3）了解歐拉積分。

(二十一)曲線積分與曲面積分

（1）理解兩類曲線積分和兩類曲面積分的概念，了解它們的性質及兩類曲線積分的關系,兩類曲面積分的關系。

（2）掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算方法，掌握格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，了解散度與旋度的概念。