2021年北京師范大學碩士研究生招生考試考研大綱

812  專業綜合

碩士研究生招生考試大綱
高等代數（分值：85）
參考書：

《代數學基礎》(上)，張英伯，王愷順，北京師范大學出版社；
《高等代數學》第三版，姚慕生，吳泉水，謝啟鴻。

一、總體要求
1．掌握基本的代數運算方法,包括：行列式的計算，矩陣運算（乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量），線性方程組解的判定及求解，多項式運算（帶余除法，輾轉相除法）.
2.掌握基本的代數分析技巧，包括：向量的線性相關和線性無關性，向量空間的基與維數，線性方程組解的結構,線性變換和矩陣的關系，方陣可相似對角化的判定,對稱矩陣與二次型，多項式的整除性及因式分解.
3.掌握代數的基本幾何背景，理解代數與幾何的關系，包括：歐氏空間與酉空間，正交變換與正交矩陣, 酉變換與酉矩陣，對稱變換與對稱矩陣, 實對稱矩陣的正交相似對角化，最小二乘解，對偶空間與雙線性函數.
二、考試內容
第一部分 多項式
1.數域, 一元多項式的定義和基本運算；
2.多項式的帶余除法，多項式整除性理論；
3.多項式的最大公因式，輾轉相除法；
4.不可約多項式，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式；
5.多項式函數與多項式的根；
6.代數基本定理，復數域和實數域上多項式；
7.有理數域和整數環上的多項式，Eisenstein判別法；
8.多元多項式的概念及字典排列法，對稱多項式及其基本定理.
第二部分 行列式
1.排列、n階行列式的定義；
2.n階行列式的性質和基本計算；
3.代數余子式、行列式按一行（列）展開；
4.克萊姆法則；
5.Laplace定理.
第三部分 線性方程組
1.線性方程組求解的消元法；
2.矩陣的秩，用矩陣的初等變換求秩；
3.線性方程組可解的判別法；
4.兩個多項式的結式和多項式的判別式.
第四部分 矩陣
1.矩陣的線性運算、乘法及轉置；
2.矩陣可逆的判定條件及性質，用初等變換求可逆矩陣的逆；
3.矩陣乘積的行列式與秩；
4.矩陣的分塊及其運算技巧.
第五部分 向量空間
1.向量空間的定義和例子；
2.向量組的線性相關和線性無關性，向量組的極大無關組；
3.向量空間的基與維數，過渡矩陣及坐標變換公式；
4.子空間、子空間的交與和；
5.向量空間的同構及其性質；
6.矩陣的行秩和列秩，齊次線性方程組的解空間與基礎解系.
第六部分 線性變換
1.線性映射和線性變換的定義及例子；
2.線性變換的運算和矩陣的關系；
3.線性變換的不變子空間及其性質；
4.方陣的特征值和特征向量；
5.可以對角化的矩陣；
6.極小多項式與Cayley-Hamilton定理;
7.向量空間的準素分解，矩陣的Jordan標準形；
8.矩陣的有理標準形.
第七部分 歐氏空間和酉空間
1.向量的內積和歐氏空間的定義；
2.規范正交基，Schmidt正交化方法；
3.正交變換與正交矩陣；
4.對稱變換與對稱矩陣，實對稱矩陣的正交相似對角化；
5.向量到子空間的距離，最小二乘解；
6.酉空間與酉變換.
第八部分 二次型
1.二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關系；
2.復數域上的二次型及其典范形；
3.實數域上的二次型，慣性定律；
4.正定二次型與正定矩陣，實對稱矩陣正定的判定條件.
第九部分 雙線性函數
1.線性函數與對偶空間；
2.雙線性函數及其度量矩陣；
3.對稱雙線性函數，反對稱雙線性函數.