中科院長春光機所博士研究生入學考試
《數理統計》考試大綱

一、考試大綱的性質

本《數理統計》考試大綱適用于中國科學院長春光機所博士研究生入學考試。它的主要內容包括有：事件概率及其性質、條件概率、獨立性、隨機變量及其分布、條件分布、隨機變量的數字特征、矩母函數、特征函數、條件數學期望、大數定律與中心極限定理；數理統計的若干基本概念、點估計 (矩估計、極大似然估計、最小方差無偏估計)、假設檢驗；平穩過程及其譜分析、Poisson 過程、馬爾可夫鏈等。要求考生對其基本概念有較深入的了解，能夠系統地掌握書中基本定律的推導、證明和應用，并具有綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試內容

（一） 概率、隨機變量及其分布

 1.1 基本概念 （隨機試驗、隨機事件、分布函數、獨立性等）

 1.2 隨機變量及其分布

 1.3 隨機向量及其獨立性

 1.4 隨機變量的數字特征

 1.5 矩母函數、特征函數及條件數學期望

 1.6 中心極限定理

考試要點：

1、熟練掌握隨機變量（向量）及其分布、獨立性、不相關等概念的定義；

2、熟練掌握條件概率、條件分布的定義；

3、熟練求某些隨機變量變換的分布或聯合分布；

4、理解隨機變量之間的獨立性、不相關性的差異，以及判別方法；

5、掌握常見的求隨機變量期望、方差等數字特征的基本方法；

6、了解矩母函數、特征函數

7、熟練掌握條件數學期望的計算；

8、了解強和弱大數律，理解中心極限定理，并會靈活運用。

（二） 參數估計

2.1 基本概念

2.2 參數的點估計

2.3 估計量的優良性準則

2.4 參數的區間估計

考試要點：

1、熟練掌握參數估計的一些基本概念（如總體與樣本、統計量、抽樣分布）；

2、熟練掌握統計中三大分布的構造，了解其基本的性質；

3、熟練掌握矩估計和極大似然估計；

4、會判別估計量的無偏性，了解最小方差無偏估計；

5、掌握正態總體以及其它特殊總體中參數的區間估計。

(三） 假設檢驗

3.1基本概念

3.2 正態總體參數的假設檢驗

3.3 擬合優度檢驗

考試要點：

 1、熟練掌握假設檢驗中的一些基本概念（如原假設、備擇假設、I型錯誤、II型錯誤、檢驗水平、檢驗功效函數，等）；

2、熟練掌握單正態總體和雙正態總體均值和方差的假設檢驗；

3、掌握擬合優度檢驗（如獨立性檢驗）。

(四） 線性回歸

4.1數據的相關性

4.2 一元線性回歸

4.3 多元線性回歸

考試要點：

1、    掌握樣本相關系數的概念；

2、    掌握回歸分析中最小二乘的思想；

3、    掌握線性回歸模型中系數的參數估計和假設檢驗。

(五） 平穩過程及其譜分析

5.1 寬平穩過程的性質及數字特征

5.2 平穩隨機過程的譜分析、功率譜密度

考試要點：

 1、熟練掌握平穩過程的定義，求解寬平穩過程的一階和二階數字特征；

2、熟練掌握平穩過程功率譜密度的概念和計算方法；

3、熟練掌握平穩過程的概率譜密度與協方差函數之間的關系。

(六） Poisson 過程

6.1 Poisson 過程

6.2 與 Poisson 過程相聯系的分布

6.3 Poisson 過程的推廣

考試要點：

1、熟練掌握 Poisson 過程的定義,能判斷什么過程是 Poisson 過程；

2、熟練掌握Poisson 過程的基本性質;

3、了解非齊次 Poisson 過程、復合 Poisson 過程。

(七） 馬爾可夫鏈

7.1 轉移概率矩陣

7.2 狀態分類

7.3 首達目標模型

考試要點：

 1、熟練掌握轉移概率矩陣的計算；

2、根據給定的問題討論狀態分類；

3、熟練掌握首達目標模型及其應用。

三、主要參考書目

1、何書元．《概率論與數理統計》,高等教育出版社，2006年。

2、林元烈.《應用隨機過程》，清華大學出版社，2002年。

編制單位：中國科學院長春光學精密機械與物理研究所

編制日期：2020年9月