南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

考試大綱

科目代碼：601

科目名稱：數學（理）

第一部分  目標與基本要求

要求考生比較系統的理解高等數學的基本概念和基本理論，掌握高等數學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

第二部分 內容與考核目標

一、函數、極限、連續

1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。 

2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。 

3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。  

4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。

5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。 

6．了解極限的性質，掌握極限的四則運算法則。　

7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8．理解無窮小、無窮大的概念，會用無窮小的比較方法，掌握等價無窮小求極限的方法。 

9．理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。 

10．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。　

二、一元函數微分學

1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。  

2． 掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。  

3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

4．會求分段函數的一階、二階導數。

5．會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數。    　

6．理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解并會用柯西中值定理和泰勒定理。

7．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。 

8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形。   　

9．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

10．了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

三、一元函數積分學

1．理解原函數概念，理解不定積分和定積分的概念。  

2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。  

3．會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分。

4．理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式。

5．了解廣義積分的概念，會計算廣義積分。

6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力）及函數的平均值等。

四、向量代數和空間解析幾何  

1. 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。  

2．掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。  

3．理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。

4．掌握平面方程和直線方程及其求法。  

5．會求平面與平面、平面與直線、  直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。 

6．會求點到直線以及點到平面的距離。   

7. 了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

8. 了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

9. 了解空間曲線的參數方程和一般方程.了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。

五、多元函數微分學

1．理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。

2．了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函數的性質。

3．理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4．理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。

5．掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法。  

6．了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。  

7．了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。 

8．了解二元函數的二階泰勒公式。  

9．理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。  

六、多元函數積分學    

1．理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理。  

2．掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。  

3．理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。  

4．掌握計算兩類曲線積分的方法。  

5．掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原函數。  

6．了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，會用高斯公式、斯托克斯公式計算曲面、曲線積分。

7．了解散度與旋度的概念，并會計算。  

8．會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、重心、轉動慣量、引力、功及流量等）。

七、無窮級數    

1．理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。 

2．掌握幾何級數與p級數的收斂與發散的條件。  

3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。  

4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。  

5. 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。  

6．了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。

7．理解冪級數的收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。 

8．了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質（和函數的連續性、逐項微分和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。  

9．了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。  

10．掌握 、 、 、 及 的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。  

11．了解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在 上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和的表達式。  

八、常微分方程  

1．了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。 

2．掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。

3．會解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。                      

4. 會用降階法解下列形式的微分方程：

。

5．理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

7．會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

8．會解歐拉方程。

9．會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

第三部分  有關說明與實施要求

1、基本要求：掌握微積分、空間解析幾何和常微分方程的基本知識（基本概念、基本理論和常用的運算方法），具備比較熟練的運算能力、抽象思維和形象思維能力，正確領會一些重要的數學思想方法，會運用微積分基本概念、理論和方法解決實際問題。

2、命題說明：（1）試卷分值比例——試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。試卷題目分易、較易、較難、難四級，分值比例一般為2：3：3：2。（2）試卷題型分布——選擇題，約17%；填空題，約17%；計算與證明題，約66%。

3、參考書目:《高等數學》（第七版）同濟大學數學系編  高等教育出版社

4、其他規定：考試方式為閉卷筆試。