南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

考試大綱

科目代碼：856

科目名稱：數學學科基礎

第一部分  目標與基本要求

數學學科基礎是教育碩士（數學方向）入學考試科目之一，是由教育部授權各教育碩士培養院校自行命題的選拔性考試。本考試大綱的制定力求反映教育碩士（數學方向）專業學位的特點，科學、公平、準確、規范地測評考生的對數學學科相關基本理論和基礎知識的系統掌握情況，以及運用數學基本理論和知識解決實際問題的意識和能力。

第二部分  數學分析和高等代數內容與考核目標

數學分析：  

(一) 極限論

1、透徹理解和掌握數列極限，函數極限的概念。掌握并能運用 ε-N，ε-X，ε-δ 語言處理極限問題。

2、掌握收斂數列的性質及運算。掌握數列極限的存在條件(單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則)；掌握函數極限的性質和歸結原則；熟練掌握利用兩個重要極限處理極限問題。

3、理解無窮小量和無窮大量的定義、性質和關系，掌握無窮小量階的比較和方法。

4、理解與掌握一元函數連續性的定義(點，區間)，間斷點及其分類，連續函數的局部性質；理解單側連續的概念。

5、掌握和應用閉區間上連續函數的性質（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續性）；掌握初等函數的連續性，理解復合函數的連續性，反函數的連續性。

 6、掌握實數連續性定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理。

7、理解平面點集的基本概念，二元函數的極限，累次極限，連續性概念；了解閉區間的套定理，有限覆蓋定理，多元連續函數的性質。

(二) 微分學

1、理解和掌握導數與微分概念及其幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數(特別是復合函數)。

2、理解單側導數、可導性與連續性的關系；掌握高階導數的求法，導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用。

3、熟練掌握中值定理的內容、證明及其應用；熟練掌握泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開。

4、能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限；掌握函數的某些基本特性(單調性、極值與最值、 凹凸性、拐點及漸近線)，能較正確地作出某些函數的圖象。

5、掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數、極值等概念；搞清全微分、偏導數、連續之間的關系；掌握多元函數泰勒公式；會求多元函數的極值。

6、掌握隱函數的概念及隱函數的存在性定理；會求隱函數的導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；掌握條件極值概念及求法。

 (三) 積分學

1、掌握原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法，并能利用它們來求函數的積分；會計算簡單的無理函數的積分。 

2、掌握定積分概念及函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類；掌握定積分與可變上限積分的性質；能熟練地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。

3、掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；掌握"微元法"。

4、掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。

5、掌握含參變量定積分的概念與性質；掌握含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念；掌握含參變量廣義積分一致收斂的判別法；熟練應用歐拉公式。

6、掌握兩類曲線積分的概念及計算；掌握兩類曲線積分的性質；掌握兩類曲線積分的關系；掌握格林公式的某些應用；會計算曲線積分。

7、掌握二重、三重積分的概念、性質；會計算重積分；會求圖形的面積，體積及物體的質量與重心。

8、掌握兩類曲面積分的概念及計算；掌握兩類曲面積分的性質；掌握兩類曲面積分的關系；會計算曲面積分。

9、掌握 Gauss 公式、Stokes 公式及其應用。

（四）級數論

1、理解無窮級數的收斂，發散，絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數的性質；能熟練應用正項級數與任意項級數的斂散性判別法判斷級數的（絕對）斂散性；熟悉幾何級數、調和級數與 p 級數。

2、掌握收斂域、極限函數與和函數、函數項級數與函數列的一致收斂等概念；掌握極限函數與和函數的分析性質(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數項級數與函數列的一致收斂。

3、掌握冪級數，函數的冪級數及函數的可展成冪級數等概念；掌握冪級數的性質；會求冪級數的收斂半徑與一些冪級數的收斂域；會把一些函數展開成冪級數，包括會用間接展開法求函數的泰勒展開式。

4、掌握三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念；能正確地敘述傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數。

高等代數： 

1、 線性方程組

掌握求解線性方程組的 Guass 消元法，有解判定準則和解的結構定理；熟練掌握行列式性質與運算, 用行列式解線性方程組的方法, 初等變換的性質,運算以及在求秩、逆矩陣及解線性方程組等方面的應用。熟練掌握線性方程組的秩, 齊次線性方程組的解空間維數, 非齊次線性方程組的一 般解之間的關系,性質及求法.

2、 矩陣運算

了解矩陣及其運算以及和數域F 上向量空間F^n 上的線性映射的關系；熟練掌握矩陣的計算方法和基本性質及計算技巧, 矩陣的秩與線性方程組的秩的關系, 矩陣法解線性方程組的技巧；初等矩陣與初等變換的關系及運用技巧,學會線性方程組問題和矩陣問題的對應關系。熟練掌握矩陣的等價、相似、合同的概念和性質，以及與線性方程組、線性變換、二次型的關系，會利用它們解決相關問題。

3、線性空間基本理論

熟練掌握線性空間、線性映射的基本概念和理論，如向量的線性相關與線性無關及其性質、判斷條件，向量組的秩相關性質及其靈活運用，子空間、不變子空間和直和的定義與性質，空間的同態、同構、向量的坐標及其在線性映射的性質。掌握空間的分解和分塊陣的關系，線性空間在解線性方程組中的應用。

4、線性變換的基本性質和理論

熟練掌握線性變換的運算性質及特征值、特征向量和特征多項式的定義和計算，線性變換與矩陣的關系，矩陣相似的概念和判定方法，Jordan 標準形的計算應用，矩陣對角化的條件和判定方法； 掌握線性變換的像與核的概念、性質，維數定理及其應用；了解線性變換的最小多項式、矩陣的性質和應用及有理標準形的定義。   

5、歐幾里得空間基本理論

掌握歐幾里得空間的基本性質，正交基和 Schmidt 正交化方法以及實對稱矩陣的基本性質，正交變換的性質及應用，掌握將實對稱矩陣通過正交變換化成對角陣的方法；學會將線性方程組問題，矩陣問題，線性變換問題的相互轉化，“幾何地”思考理解線性代數問題。

6、對稱矩陣和二次型理論

掌握二次型的基本理論及與矩陣理論的對應關系，掌握正定二次型的性質和應用及將實二次型化成標準型的方法，以及相應的矩陣合同、正定矩陣、對稱方陣的性質和運用。了解多重線性代數的基本性質。

第三部分  有關說明與實施要求

1、命題說明：數學分析約占60％，高等代數約占40%。

2、參考書目: 《數學分析》（第五版），華東師范大學，高等教育出版社；《高等代數》（第五版），北京大學，高等教育出版社。

3、其他規定：考試方式為閉卷筆試，總分150分，考試時間為180分鐘。