2021年天津大學碩士研究生入學考試考研大綱

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高等代數
一、
考試的總體要求
要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握代數的基本方法，要求考生
具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力、綜合運用所學的知識分析和
解決問題的能力。
二、考試的內容及比例
1．多項式：數域，二元多項式、整除、最大公因式、互素、不可約多項式、因式分解定理、
重因式、多項式、函數、復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式，多元多項式。
2．行列式：排列，n 階行列式的定義，n 階行列式的性質及計算，行列式展開（按一行(一
列)展開，拉普拉斯定理）克萊姆法則。
3．矩陣：矩陣的概念，矩陣的運算，逆矩陣、矩陣乘積的行列式、分塊矩陣、初等矩陣、
初等變換，分塊矩陣和初等變換及其應用，矩陣的秩。
4．線性方程組：n 維向量空間，n 維向量的線性相關性，向量組的極大線性無關組，向量組
的秩和線性方程組的解法、有解的判別原理、解的結構。
5．二次型：二次型及其矩陣表示，二次型的標準型、唯一性、化二次型為標準型，正定二
次型。
6．線性空間：集合、映射、線性空間的定義與性質?；?、維數與坐標、基變換與坐標變換，
線性子空間，子空間的交與和，直和，線性空間的同構。
7．線性變換的定義及其運算，線性變交換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變
換的值域與核、不變子空間。
8．λ-矩陣：λ-矩陣的概念，λ 的矩陣在初等變換下的標準型，行列式因子，不變因子，及初
等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當標準型及理論推導。
9．歐幾里德空間：歐幾里德空間的定義與基本性質，標準正交基，歐氏空間的同構和正交
變換，子空間及其正交系，正交補，對稱矩陣的標準形。向量到子空間的距離，最小二乘法，
酉空間。
各部分占 10%左右。
三、考試的題型及比例
1．計算題約占 50%。
2．證明題約占 50%。
四、考試形式及時間
考試形式均為筆試?？荚嚂r間為三小時。（滿分 150 分）