2021年全國碩士研究生入學考試

湖北師范大學自命題考試科目考試大綱

（科目名稱：數學分析      科目代碼:601）

一、考查目標

數學分析科目考試內容包括極限與連續、微分學、積分學和級數要求考生系統掌握相關內容的基本知識、基礎理論、基本方法、基本計算，并能運用相關理論和方法分析、解決實際問題。

二、考試形式與試卷結構

（一）試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷內容結構

各部分內容所占分值為：

  極限與連續    約40分

  一元微積分    約40分

  多元微積分    約40分

無窮級數      約30分

（四）試卷題型結構

計算題：4小題，每小題15分，共60分

證明題：6小題，每小題15分，共90分

 (五)主要參考書目

華東師范大學數學系主編：《數學分析》（上、下冊），高等教育出版社2010年。

三、考查范圍

（一）考查目標

1、系統掌握數學分析原理的基本概念、基礎知識、基本理論和基本計算。

2、掌握和理解極限理論和方法，由此而產生的連續性、微分學、積分學和無窮級數。

3、能靈活運用基本定理和基本方法證明問題，能靈活運用基本公式計算問題，以及綜合運用。

（二）考試內容

一）集合與函數

1. 實數集 、有理數與無理數的稠密性，實數集的界與確界、確界存在性定理、閉區間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。

2. 上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、 上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在 上的推廣。

3. 函數、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數概念，反函數與逆變換，反函數存在性定理，初等函數以及與之相關的性質。

二）極限與連續

1. 數列極限、收斂數列的基本性質（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質）。

2. 數列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調有界原理、數列收斂與其子列收斂的關系），極限 及其應用。

3.一元函數極限的定義、函數極限的基本性質（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性），歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限 及其應用，計算一元函數極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數重極限與累次極限概念、基本性質，二元函數的二重極限與累次極限的關系。

4. 函數連續與間斷、一致連續性、連續函數的局部性質（局部有界性、保號性），有界閉集上連續函數的性質（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續性）。

三）一元函數微分學

1.導數及其幾何意義、可導與連續的關系、導數的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性。

2.微分學基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項)。

3.一元微分學的應用：函數單調性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數圖象的討論、洛必達（L'Hospital）法則、近似計算。

   四）多元函數微分學

1. 偏導數、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續之間的關系，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，高階偏導數，混合偏導數與順序無關性，二元函數中值定理與Taylor公式。

2.隱函數存在定理、隱函數組存在定理、隱函數（組）求導方法、反函數組與坐標變換。

3.幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）。

4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數法。

五）一元函數積分學

1. 原函數與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數積分： 型， 型。

2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件： ）、可積函數類。

3. 定積分的性質（關于區間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理。

4.無限區間上的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、 非負時 的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數廣義積分概念及其收斂性判別法。

5. 微元法、幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積），及其它應用。

六）多元函數積分學

1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）。

2.三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）。

3.重積分的應用（體積、曲面面積、重心、轉動慣量等）。

4.含參量正常積分及其連續性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。

5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質、計算。

6.第二型曲線積分概念、性質、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。

7.曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關系。

   七）無窮級數

1. 數項級數

級數及其斂散性，級數的和，Cauchy準則，收斂的必要條件，收斂級數基本性質；正項級數收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數的Leibniz判別法；一般項級數的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法。

2. 函數項級數

函數列與函數項級數的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數列、函數項級數的性質及其應用。

3.冪級數

冪級數概念、Abel定理、收斂半徑與區間，冪級數的一致收斂性，冪級數的逐項可積性、可微性及其應用，冪級數各項系數與其和函數的關系、函數的冪級數展開、Taylor級數、Maclaurin級數。

4.Fourier級數

三角級數、三角函數系的正交性、2 及2 周期函數的Fourier級數展開、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數的Fourier級數的收斂性定理。