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適用學科（數學）專業（應用數學、運籌學與控制論）
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一、考試性質
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《數學分析》考試是為中南民族大學數學與統計學學院招收數學
學科（含應用數學、運籌學與控制論兩個專業）的碩士研究生而設置
的具有選拔性質的入學考試科目，其目的是科學、公平、有效地測試
考生掌握《數學分析》中基礎知識、基本理論、基本方法的水平和分
析問題、解決問題的能力。評價標準設置為數學學科優秀本科畢業生
能達到及格及及格以上水平，有利于中南民族大學數學與統計學學院
擇優選拔，確保碩士研究生的招生質量。
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要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握
數學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理
能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
三、考試形式和試卷結構
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1.本試卷滿分為（ 150）分，考試時間為（ 3 ）小時
2.考試方式為閉卷、筆試。
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計算題（40%）、研討題(30%)、證明題(30%)
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映射與函數；數列的極限、函數的極限；連續函數、函數的連續
性和一致連續性；R2 中的點集、實數系的連續性；函數和連續函數
的各種性質。
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1.熟練掌握數列極限與函數極限的概念；理解無窮小量的概念及
基本性質。
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2.掌握極限的性質及四則運算性質，能夠熟練運用兩面夾原理和
兩個特殊極限求極限。
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3.掌握實數系的基本定理：區間套定理，確界存在定理，單調有
界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆蓋定理，Cauchy
收斂準則；并理解相互關系。
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4.熟練掌握函數連續性的概念及相關的不連續點類型。能夠運用
函數連續的四則運算與復合運算性質以及相對應的；并理解兩者的相
互關系。
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5.熟練掌握閉區間上連續函數的性質：有界性定理、最值定理、
介值定理；了解 Contor 定理。
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微分的概念、導數的概念、微分和導數的意義；求導運算；微分
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運算；微分中值定理；洛必達法則、泰勒展式公式；導數的應用。
二 、考試要求
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1.理解導數和微分的概念及其相互關系，理解導數的幾何意義和
物理意義，理解函數可導性與連續性之間的關系。
2.熟練掌握函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法
則、復合函數求導法則，會求分段函數的導數。
3.熟練掌握 Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定
理以及 Taylor 展式。
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4.能夠用導數研究函數的單調性、極值，最值和凸凹性。
5.掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。
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定積分的概念、性質和微積分基本定理；不定積分和定積分的計
算；定積分的應用；廣義積分的概念和廣義積分收斂的判別法。
二 、考試要求
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1.理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法
和分部積分法，會求初等函數、有理函數和三角有理函數的積分。
2.掌握定積分的概念，包括 Darboux 和，上、下積分及可積條件
與可積函數類。
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3.掌握定積分的性質，熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元
積分法和分部積分法以及積分中值定理。
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4.能用定積分表達和計算如下幾何量與物理量：平面圖形的面
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積，平面曲線的弧長，旋轉體的體積與側面積，平行截面面積已知的
立體體積，變力做功和物體的質量與質心。
5.理解廣義積分的概念。熟練掌握判斷廣義積分收斂的比較判別
法，Abel 判別法和 Dirichlet 判別法；其中包括積分第二中值定理。
第四部分 無窮級數
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數項級數的概念、數項級數斂散的判別法；級數的絕對收斂和條
件收斂；函數項級數的收斂和一致收斂及其性質、收斂性的判別；冪
級數及其性質、泰勒級數和泰勒展開。
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1.理解數項級數斂散性的概念，掌握數項級數的基本性質。
2.熟練掌握正項級數斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy 判別
法，D‘Alembert 判別法與積分判別法。
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3.熟練掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關
系。熟練掌握交錯級數的 Leibnitz 判別法。掌握絕對收斂級數的性質。
4.熟練掌握函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性
的 Weierstrass 判別法。Abel 判別法、Cauchy 判別法和 Dirichlet 判別
法。
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5.掌握冪級數及其收斂半徑的概念，包括 Cauchy-Hadamard 定理
和 Abel 第一定理。
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6.熟練掌握冪級數的性質，能夠將函數展開為冪級數，理解余項
公示。
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第五部分 多元函數微分學與積分學
一 、考試主要內容
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多元函數的極限與連續、全微分和偏導數的概念、重積分的概念
及其性質、重積分的計算；曲線積分和曲面積分；反常積分的定義和
判別。
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1.理解多元函數極限與連續性，偏導數和全微分的概念，會求多
元函數的偏導數與全微分。
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3.熟練掌握求多元函數極值和無條件極值，了解偏導數的幾何應
用。
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4. 熟練掌握重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計算。
5.熟練掌握 Gauss 公式、Green 公式和 Stoks 公式及其應用。
第六部分 含參變量積分
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1.了解含參變量常義積分的概念與性質。
2.熟練掌握變上限和變下限積分分析性質。
五、參考書目
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1.華東師范大學數學系編：《數學分析》上、下冊，高等教育出
版社，2010 年 7 月，第四版。
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