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適用學科（數學）專業（應用數學、運籌學與控制論）
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一、考試性質
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《高等代數》考試是為中南民族大學數學與統計學學院招收數學
學科（含應用數學、運籌學與控制論兩個專業）的碩士研究生而設置
的具有選拔性質的入學考試科目，其目的是科學、公平、有效地測試
考生掌握《高等代數》中基礎知識、基本理論、基本方法的水平和分
析問題、解決問題的能力。評價標準設置為數學學科優秀本科畢業生
能達到及格及及格以上水平，有利于中南民族大學數學與統計學學院
擇優選拔，確保碩士研究生的招生質量。
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要求考生系統掌握《高等代數》中的基本知識、基本理論和基本
方法，能夠運用所學的基本知識、基本理論和基本方法分析、判斷和
解決有關理論問題和實際問題。
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1.本試卷滿分為（ 150 ）分，考試時間為（ 3 ）小時
2.考試方式為閉卷、筆試。
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計算題 （約 60%）、證明題（約 30%）、敘述題（主要敘述一
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些基本概念及其相關的性質、概念間的聯系與區別，約 10%）
四、考查內容
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1. 數域, 一元多項式的定義和基本運算；
2. 多項式的帶余除法，多項式整除性理論；
3. 多項式的最大公因式，輾轉相除法；
4. 不可約多項式，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式；
5. 多項式函數與多項式的根；
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6. 代數基本定理，復數域和實數域上多項式；
7. 有理數域上的多項式，Eisenstein 判別法。
二、考試要求：
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1. 理解數域、多項式相關的基本概念；
2. 掌握多項式相關的運算及其性質；
3. 掌握帶余除法、輾轉相除法、Eisenstein 判別法；
4. 掌握不同數域中多項式的性質；
5. 掌握多項式互素的性質、多項式的重因式與多項式的根的關
系及其應用。
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1. 理解 n 階行列式、余子式、代數余子式相關的概念；
2. 掌握多 n 階行列式的性質并能利用這些性質計算行列式；
3. 掌握克萊姆法則的應用。
第三部分：線性方程組
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1. 線性方程組求解的消元法；
2. 矩陣的秩，用矩陣的初等變換求秩；
3. 線性方程組有解的判別法。
二、考試要求：
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1. 掌握矩陣的秩及其計算；
2. 掌握線性方程組的有解判別并求解。
第四部分：矩陣
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2. 初等變換，可逆矩陣，矩陣的等價關系，矩陣可逆的判定條
件及性質；
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3. 掌握矩陣的秩與矩陣的行列式的關系；
4. 掌握矩陣方程的求解。
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1. 二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關系；
2. 實數域、復數域上的二次型；
3. 正定二次型與正定矩陣，實對稱矩陣正定的判定條件。
二、考試要求：
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1. 掌握二次型與對稱矩陣的對應關系；
2. 掌握二次型的化簡；
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3. 掌握二次型正定性的判定。
第六部分：向量空間
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2. 向量組的線性相關和線性無關性，向量組的極大無關組；
3. 向量空間的基與維數，過渡矩陣及坐標變換公式；
4. 子空間、子空間的交與和；
5. 向量空間的同構及其性質；
6. 齊次線性方程組的解空間與基礎解系。
二、考試要求：
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1. 理解向量空間的定義及其基本性質；
2. 掌握向量組的線性相關性的判定；
3. 掌握向量空間的基與維數，過渡矩陣及坐標等的求解方法；
4. 掌握子空間的交與和、不子空間、向量空間同構的性質。
第七部分：線性變換
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1. 線性映射和線性變換的定義及例子；
2. 線性變換的運算、線性變換的矩陣、矩陣的相似；
3. 線性變換的值域與核、不變子空間及其性質；
4. 方陣的特征值和特征向量；
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6. Cayley-Hamilton 定理、最小多項式。
二、考試要求：
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1. 理解線性變換的定義及其基本性質；
2. 掌握線性變換的運算及其性質，線性變換的矩陣的計算方法；
3. 掌握線性變換的值域與核的求解方法；
4. 掌握方陣的特征值和特征向量的計算及其在矩陣的對角化中
的應用；
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5. Cayley-Hamilton 定理在矩陣多項式化簡、最小多項式等方面的
應用。
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1. 向量的內積和歐氏空間的定義、柯西-布涅柯夫斯基不等式；
2. 正交基、標準正交基、Schmidt 正交化方法；
3. 正交變換與正交矩陣；
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1. 理解向量的內積和歐氏空間的定義及其基本性質；
2. 掌握 Schmidt 正交化方法；
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3. 掌握正交變換、實對稱矩陣、正交矩陣及其相關性質；
4. 掌握柯西-布涅柯夫斯基不等式的不同表現形式。
五、參考書目
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1.北京大學數學系編：《高等代數》，高等教育出版社，2013 年 8
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2. 西北工業大學出版社：《高等代數考研教案》， 2009 年 7 月。
六、特殊說明
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