華南農業大學碩士研究生入學考試自命題
《數學分析》考試大綱

一、考試性質
華南農業大學碩士研究生入學數學分析考試是為招收理學類碩士研究生而設置的選拔考試。它的
主要目的是測試考生的數學素質，包括對數學分析各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能
力?？荚噷ο鬄閰⒓尤珖T士研究生入學考試、報考數學專業的考生。
二、考試方式和考試時間
數學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 3 小時。
三、試卷結構
1、填空、選擇題：占總分的 50 分左右，內容為概念和基本計算，主要覆蓋本門課程的各部分知識點。
2、計算或解答題：占總分的 70 分左右，主要為各部分的重要計算題、應用題 。
3、證明題：占總分的 30 分左右。
四、考試內容和考試要求
（一） 實數集與函數
考試內容：
實數性質 確界原理 函數概念及其性質 數列極限概念及性質 數列極限存在的條件
考試要求：
1.了解實數域及性質
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2.掌握幾種主要不等式及應用。
3.熟練掌握領域，上確界，下確界，確界原理。
4.牢固掌握函數復合、基本初等涵數、初等函數及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有
界性等）。
（二）數列極限
 考試內容：數列極限的定義 收斂數列的若干性質 數列收斂的條件
考試要求：
1．熟練掌握數列極限的定義。
2．掌握收斂數列的若干性質（惟一性、保序性等）。
3．掌握數列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。
（三）函數極限
考試內容：函數極限的概念及性質 函數極限的條件 兩個重要極限 無窮小量與無窮大量
考試要求：
熟練掌握使用“ε-δ”語言，敘述各類型函數極限。
1.掌握函數極限的若干性質。
2.掌握函數極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界）。
3.熟練應用兩個特殊極限求函數的極限。
4.牢固掌握無窮小（大）的定義、性質、階的比較。
（四）函數連續性
 考試內容：連續性的定義 間斷點定義及分類 連續函數的性質 一致連續 反函數的連續性 初等
函數的連續性
1.熟練掌握在 X0 點連續的定義及其等價定義。
2.掌握間斷點定以及分類。
3.了解在區間上連續的定義，能使用左右極限的方法求極限。
4.掌握在一點連續性質及在區間上連續性質。
5.了解初等函數的連續性。
（五） 導數與微分
考試內容：
導數的概念 幾何意義 求導法則 含參變量的導數 高價導數 微分的定義、運算法則及應用
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考試要求：
1.熟練掌握導數的定義，幾何、物理意義。
2.牢固記住求導法則、求導公式。
3.會求各類的導數（復合、參量、隱函數、冪指函數、高階導數（萊布尼茲公式））。
4.掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算。
5.深刻理解連續、可導、可微之關系。
（六） 微分中值定理及其運用
考試內容：
羅爾定理 拉格朗日定理 單調函數 柯西中值定理 不定式極限 泰勒中值定理 函數的極值和最
值 函數的凸凹性 拐點 漸進線 近似解
 考試要求：
1.牢固掌握微分中值定理及應用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。
2.會用洛比達法則求極限，（掌握如何將其他類型的不定型轉化為 0/0 型）。
3.掌握單調與符號的關系，并用它證明 f(x)單調，不等式、求單調區間、極值等。
4.利用判定凹凸性及拐點。
5.了解凸函數及性質
6.會求曲線各種類型的漸近線性。
7.了解方程近似解的牛頓切線法。
（七）實數的完備性
考試內容：
實數完備性基本定理 閉區間上連續函數性質的證明 上極限和下極限
考試要求：
1.掌握下列基本概念：區間套、柯西列、聚點、予列。
2.了解刻劃實數完備性的幾個定理的等階性，并掌握各定理的條件與結論。
3.學會用上述定理證明其他問題，如連續函數性質定理等。
（八） 不定積分
 考試內容：
 原函數與不定積分 換元積分法 分部積分法 有理函數積分 可化為有理函數的積分
 考試要求：
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1.掌握原函數與不定積分的概念。
2.記住基本積分公式。
3.熟練掌握換元法、分部積分法。
4.了解有理函數積分步驟，并會求可化為有理函數的積分。
（九）定積分
 考試內容：
 定積分的概念 牛頓-萊布尼茲公式 可積條件 定積分的性質 微積分基本定理 定積分的計算 變限
積分 換元積分法 分部積分法 可積充要條件
 考試要求：
1.掌握定積分定義、性質。
2.了解可積條件，可積類。
3. 深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。
4. 熟練計算定積分。
（十）定積分應用
考試內容：
平面圖形的面積、平面曲線的弧長；已知平行截面面積的立體的體積、旋轉曲面的面積 微元法 積
分在物理中的某些應用 定積分的近似計算。
考試要求：
1.熟練計算各種平面圖形面積。
2.會求旋轉體或已知截面面積的體積。
3.會利用定積分求孤長、曲率、旋轉體的側面積。
4.會用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。
（十一）反常積分
考試內容：
反常積分（無窮積分、暇積分）的定義及性質 收斂判別法
考試要求：
1.理解兩種類型反常積分的定義、性質.
2.會用定義與性質計算兩種反常積分值。
3.掌握兩種反常積分收斂的判斷法：比較判別法、Cauchy 判別法、Abel 判別法和 Dirichlet 判別法
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來判別積分收斂。
4.能用比較判別法、Cauchy 判別法、Cauchy 收斂原理判別反常積分的斂散性。
5.掌握兩類積分絕對收斂和條件收斂概念。
(十二)數項級數
考試內容：
數項級數斂散的定義、性質 正項級數的斂、散判別法 條件、絕對收斂 萊布尼茲定理
考試要求：
1.理解數項級數和數列極限的關系，會用“ -N”語言表述級數收斂或發散。
2.掌握 Cauchy 收斂原理，能用 Cauchy 原理證明級數收斂與發散，熟練掌握級數的必要條件。
3.掌握正項級數斂散的比較原則，Cauchy 判別法，達朗貝爾判別法，Cauchy 積分判別法。
4.掌握 Leibniz 判別法，Abel 判別法和 Dirichlet 判別法，判斷級數的條件收斂。
5.理解級數收斂、絕對收斂、條件收斂之間的關系，了解絕對收斂和條件收斂級數的主要性質，
會對含有一個參數的級數確定其絕對收斂域和條件收斂域。
(十三) 函數列與函數項級數
考試內容：
函數序列與函數項級數一致收斂性的定義 一致收斂性判別的柯西準則 魏爾斯特拉
斯判別法 一致收斂函數序列與函數項級數的連續性的判別 可積性的判別 可微性的判別
考試要求：
1.能用數項級數收斂判別法討論函數項級數的收斂性，研究函數項級數與函數列收斂域。
2.理解一致收斂概念，能從定義出發證明函數列或函數項級數的一致收斂和非一致收斂。
3.掌握 Cauchy 收斂原理，并能應用于判別一致收斂與非一致收斂。
4.掌握各種判別法，研究函數列或函數項級數的一致收斂性。
5.利用一致收斂性證明極限函數和函數的連續性、可微性與可積性。反過來，從和函數或極限函
數的分析性質研究函數項級數或函數列的一致收斂性（Dini 定理）。
（十四）冪級數
教學內容:
冪級數收斂半徑和收斂區間、收斂域的定義與求法 泰勒級數和麥克勞林級數展開式的定義 五種
基本初等函數的冪級數展開式 初等函數的冪級數展開
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考試要求：
1.熟練冪級數收斂域，收斂半徑，及和函數的求法。
2.了解冪級數的若干性質。
3.了解求一般任意階可微函數的冪級數展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數的馬克勞林
展式。
4.會利用間接法求一些初等函數的冪級數展式。
(十五) 付里葉級數
教學內容:
三角級數 正交函數系 傅里葉級數定義 傅里葉級數的收斂定理 對以
2l
為周期的函數作傅葉
級數展開的基本方法 偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開 正弦級數 余弦級數 貝塞爾不等式 黎曼
-勒貝格定理 收斂定理
考試要求：
1.熟記付里葉系數公式，并會求之。
2.掌握以 2π為周期函數的付里葉展式。
3.理解掌握定義在（0,1）上的函數可以展成余弦級數，正弦級數，一般付里葉級數。
4.了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。
（十六）多元函數極限與連續
考試內容:
平面點集概念（鄰域、內點、界點、開集、閉集、開域、閉域） 平面點集的基本定理二元函數
概念 二重極限 累次極限 二元函數的連續性 復合函數的連續性定理 有界閉域上連續函數的性質
考試要求：
1.了解平面點集的若干概念。
2.掌握二元函數二重極限定義、性質。
3.掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。
4.掌握二元連續函數的定義、性質。
5.了解二元函數關于兩個變量全體連續與分別連續的關系。
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（十七）多元函數微分學
 考試內容：
偏導數及其幾何意義 全微分概念 全微分的幾何意義 全微分存在的充分條件 全微分在近似
計算中的應用 復合函數的偏導數與全微分 一階微分形式不變性 方向導數與梯度 混合偏導數與
其順序無關性 高階導數 高階微分 二元函數的泰勒定理 極值問題
考試要求：
1.熟練掌握，可微，偏導的意義。
2.掌握二元函數可微，偏導，連續以及偏導函數連續，概念之間關系。
3.會計算各種類型的偏導，全微分。
4.會求空間曲面的切平面，法線,空間曲線的法平面與切線。
5.會求函數的方向導數與梯度。
6.會求二元函數的泰勒展式及無條件極值。
（十八）隱函數定理及其應用
考試內容：
隱函數定理及其應用 隱函數求導 隱函數組概念、隱函數組定理、隱函數組求導、反函數組與
坐標變換 條件極值與拉格朗日乘數法
考試要求：
1.理解隱函數定理的有關概念，及隱函數存在的條。
2.了解隱函數組，反函數組的有關概念，理解二元隱函數組存在的條件，了解反函數組存在的
條件。
3.掌握隱函數的微分法在幾何方面的應用，會把實際問題抽象為條件極值并予以解決。
（十九） 含參量積分
 考試內容：
含參變量積分連續性、可微性和可積性的條件 含參量廣義積分及一致收斂概念 M－判別法、
Dirichlet 判別法、Abel 判別法，判別一些常見積分的一致收斂性 含參量廣義積分連續性、可微性、
可積性 Euler 積分的定義、性質
考試要求：
 1.理解含參變量常見積分作為參量的函數，掌握它的連續性、可微性和可積性的條件，并能應
用這些條件討論一些含參量常見積分的有關性質
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2.理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會從定義或 Cauchy 收斂原理出發證明積分的一致收
斂性或非一致收斂性
3.掌握和利用 M－判別法、Dirichlet 判別法、Abel 判別法，判別一些常見積分的一致收斂性；
4.掌握含參量廣義積分的分析性質：連續性、可微性、可積性；
5.了解 Euler 積分的定義、性質、遞推公式及它們之間的關系，并用于計算積分。
（二十）曲線積分
考試內容：
第一型曲線積分的定義及計算 第二型曲線積分的定義及計算 兩類曲線積分的關系
考試要求：
 1.掌握第一型曲線積分的定義、第一型曲線積分的計算、第二型曲線積分的定義、第二型曲線
積分的計算。
2.了解第一型曲線積分的意義、第二型曲線積分的意義，掌握兩類曲線積分的關系。
（二十一 ）重積分
考試內容：
二重積分定義與存在性 二重積分性質 二重積分計算（化為累次積分） 二重積分的換元法（極
坐標與一般變換）格林公式 三重積分定義與計算 三重積分的換元法（柱坐標、球坐標與一般變換）
重積分應用（體積，曲面面積，重心、轉動慣量、引力等）
考試要求：
1.掌握將重積分化為累次積分的計算方法，并會交換積分順序.
2.掌握二重積分的極坐標變換，三重積分的柱坐標、球坐標變化，掌握一些簡單的一般變換，
以達到簡化重積分計算的目的
3.能正確地使用對稱性；正確地處理被積函數中含有絕對值符號及一般分段函數的重積分計算。
4.能用重積分計算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質量、重心、轉動慣量等。
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5.掌握格林公式。
（二十二） 曲面積分
考試內容：
第一型曲面積分的概念、幾何意義、計算方法 第一型曲面積分的概念、幾何意義、計算方法 第
二型曲面積分的定義、物理意義、計算 兩類曲面積分的聯系 Gauss 公式 Stokes 公式
考試要求：
 1.掌握第一型曲面積分的概念、幾何意義和計算
2.理解曲面的側，熟練掌握第二型曲面積分的定義、物理意義和計算，了解兩類曲面積分的聯系
3.掌握 Gauss 公式與 Stokes 公式