五邑大學2021年碩士學位研究生招生

《高等代數》課程考試大綱

一、 課程的性質，目的和任務

高等代數是數學（數學與應用數學，數學教育）專業的一門重要基礎課程。通過本課程的教學，應培養學生良好的數學素養，打下較扎實的代數學理論基礎，提高學生的抽象思維的能力和邏輯推理能力，并掌握較系統的代數基礎知識，為學習后繼課程服務。

二、 基本要求

    這門課程大致分為兩部分:多項式理論和線性代數。前者以數域上一元多項式的因式分解理論為中心內容；后者主要講授線性方程組的理論，向量空間和線性變換。本課程應著重于基本理論的講授和基本技能的培養和訓練,不適求內容上的完備和全面.

三、 考試范圍

(一)  多項式理論

1. 數域                                 (A)

2. 整除的概念                           (A)

3. 最大公因式.                          (A)

4. 因式分解定理.                        (A)

5. 重因式.                              (A)

6. 多項式函數.                          (A)

8. 復系數與實系數多項式的因式分解.      (A)

9. 有理系數多項式.                      (A)

*10.多元多項式.                         (B)

*11.對稱多程式.                         (B)

(二) 行列式                                            

1. 排列.                                (A)

2. n階行列式的定義和性質.               (A)

3. 行列式的依行和依列展開.              (A)

4. 行列式的計算.                        (A)

5. Crammer法則(克萊姆法則).             (A)

6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法規則. (A)

(三)線性方程組

1. 線性方程組的消元法.                  (A)

2. n維向量空間                          (A)

3. 線性相關性.                          (A)

4. 矩陣的秩.                            (A)

5. 線性方組有解的判定定理.               (A)

6. 線性方程組解的結構.                   (A)

7. 二元高次方程.                        (B)

(四) 矩陣

1. 矩陣的概念與運算.                    (A)

2. 矩陣乘積的行列式與秩.                 (A)

3. 矩陣的逆.                            (A)

4. 矩陣的分塊.                          (A)

5. 初等矩陣.                            (A)

(五) 二次型

1. 二次型的矩陣表示.                    (A)

2. 標準形.                              (A)

3. 唯一性.                              (A)

4. 正定二次型.                          (A)

(六) 線性空間

1. 線性空間的定義與簡單性質.            (A)

2. 維數.基與坐標.                       (A)

3. 基變換.                              (A)

4. 線性子空間                           (A)

5. 子空間的交與和.                      (A)

6. 子空間的直和.                        (A)

7. 線性空間的同構.                      (A)

(七) 線性變換

1. 定義和例子                           (B)

2. 線性變換的運算.                      (A)

3. 線性變換的矩陣.                      (A)

4. 特征值與特征向量.                    (A)

5. 對角矩陣.                            (A)

6. 線性變換的值域與核.                  (A)

7. 不變子空間.                          (A)

8. Jordan標準形介紹.                    (B)

(八) 入一矩陣

1. 入一矩陣.                            (A)

2. 入一矩陣在初等變換下的標準形.        (A)

3. 不變因子.                            (A)

4. 矩陣相似條件.                        (A)

5. 初等因子.                            (A)

*6.Jordan標準形的理論推導.              (C)

(九) 歐幾里得空間

1. 定義與基本性質.                      (A)

2. 標準正交基.                          (A)

3. 同構.                                (A)

4. 正交變換.                            (A)

5. 子空間.                              (A)

6. 對稱矩陣的準形.                      (A)

四、主要教材和參考書

    1. 北京大學數學力學系，高等代數（第二版），高教出版社。

    2. 張禾瑞，郝炳新, 高等代數，高教出版社。

    3. 楊子胥，高等代數習題解(上,下)， 山東科技大學出版社.

五、 說明

   1、(A):表示對相關內容達到“掌握”層次；(B): 表示對相關內容達到“理解”層次；(C): 表示對相關內容達到“了解”層次。

   2、北大教材的習題分為兩部分: 基本題和補充題。對于學生要求掌握書上的基本題而補充題大部分難度較大，技巧性較強，不要求學生能全部獨立完成。但基本題必需會獨立完成解答。 “雙線性函數”和入一矩陣等打星號的內容可不做為考試要求。