2021年桂林電子科技大學考研大綱

科目代碼：811              考試科目：數學分析

一、考試性質
數學分析是為高等院校和科研院所招收數學與應用數學碩士生設置的具有選拔性質的考試科目，其目的是科學、公平、有效地測試考生是否具備攻讀數學與應用數學碩士所必須的基本素質和專業能力，選拔有潛力的優秀人才入學，以利于培養職業道德良好、具有較強專業能力的高層次數學人才。
二、考查目標
測試考生對數學分析基本概念和知識的理解、基本計算和論證技巧的掌握、以及是否具有綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。
三、適用范圍
本考試大綱適用于桂林電子科技大學數學與計算科學學院數學專業碩士研究生招生考試。
四、考試形式和試卷結構
（一）試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。
（二）試卷內容結構
　    本試卷包含一元函數微分學、一元函數積分學、實數理論、多元函數微分學、多元函數積分學、級數等試題，考核方式為筆試。
（三）試卷題型結構及分值比例
　本試卷題型包含計算題、分析與證明題，其中計算題約占60%~70%，分析與證明題約占30%~40%。命題可根據考核需要，對試卷內容結構、題型結構及分值比例做適當調整。
五、考查內容
1．實數集與函數
   實數的概述，函數的概念，具有某些特殊性質的函數。
2．極限與連續
    函數（數列）極限的定義和性質，極限的四則運算法則，極限存在的條件，兩個重要的極限，連續和一致連續的定義，連續函數的運算，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。
3．導數與微分
導數的定義及幾何意義，導數的四則運算法則，反函數求導法則，復合函數的求導法則 ，初等函數的導數、隱函數的參數方程式表示的函數的導數、微分的定義及運算，微分的幾何意義，高階導數與高階微分。
4．微分學的基本定理及其應用
微分中值定理、不定式的極限，應用導數研究函數的性態，函數圖象的討論。
5．實數的基本理論
    子列、確界與存在定理，區間套定理。致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理。有界性定理，最大（?。┲刀ɡ怼⒘泓c存在定理、反函數的連續性定理、一致連續性定理，上、下極限的定義。
6．不定積分
    原函數和不定積分的概念，基本積分公式、換元積分法、分部積分法、有理函數積分法、三角函數有理式的積分、幾種無理函數的積分。
7．定積分及其應用
    定積分的定義及其性質 、可積的充要條件、可積函數類、牛頓—萊布尼茲公式、換元積分法分部積分法、非正常積分 。平面圖形的面積，曲線的弧長與曲率，由截面面積求立體的體積，旋轉體的表面積，定積分在物理上的某些應用及定積分的近似計算。
8．反常積分
   無窮積分的性質與收斂判別、瑕積分的性質與收斂判別。
9．數項級數
    級數收斂與和的定義性質、柯西準則、正項級數及其審斂法、一般級數的絕對收斂與條件收斂、交錯級數、萊布尼茲定理、阿貝爾定理、狄利克雷定理 、絕對收斂與條件收斂級數的性質、無窮乘積。
10．函數項級數、冪級數
    函數項級數與函數列的收斂和一致收斂的概念，一致收斂審斂法，一致收斂函數列與級數的性質，冪級數的收斂半徑、收斂域、和函數，冪級數的運算，函數展開成冪級數。
11．傅立葉級數
    三角級數和三角函數系的正交性，傅立葉級數，函數的傅立葉級數的展開，收斂性定理及證明。
12．多元函數的極限與連續
平面點集的概念，平面點集的基本定理、二元函數的概念，二重極限二次極限，二元函數的連續性，有界閉區域上連續函數的性質。
13．多元函數微分
偏導數與全微分的概念，高階偏導數和高階全微分，復合函數的鏈式規則，由方程所確定的函數的求導法則，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線， 方向導數、梯度、泰勒公式。
14．多元函數極值、條件極值
    多元函數極值、條件極值。
15．隱函數的存在定理、函數相關
一個方程的情形，方程組的情形，函數行列式的性質，函數相關。
16．重積分與含參變量非正常積分
    二重積分和三重積分的定義和性質，二重積分的計算，三重積分的計算，重積分的應用，n重積分，含參量正常積分、歐拉積分。
17．曲線積分
    第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義、性質，兩類曲線積分的計算，兩類曲線積分的聯系。
18．曲面積分
    第一類曲面積分與第二類曲面積分的定義、性質，兩類曲面積分的計算，兩類曲面積分的聯系。
19．各種積分的聯系及場論初步
    格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，曲線積分與路徑無關、場的概念，向量場的散度與旋度。
六、參考書目（本校本科生教學用書）
華東師大數學系. 數學分析（上、下冊）(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社, 2010.