重慶大學2003年碩士研究生入學考試試題

高等代數試卷

一、    填空題（36分）

1．設n階方陣A滿足 ，其中E是單位矩陣， ，則 _____________

2．設A、B均為n階方陣， ， 為矩陣A的伴隨矩陣，則 ______

3．設 ， ，則B = _____________________

4．設 ，其中 為任意3維實向量，則線性變換 在 下的矩陣表示為_________________________________

5．設A是可逆矩陣， 是A的一個特征值，則A的伴隨矩陣 一定有一個特征值為________

6．若方程 無解，則 ________；若此方程有惟一解，則 _______

7．設 ，則 ______________________

8．向量組 的秩等于__________，其一個最大無關組是________________

9．設 ，則向量y的長度 ______________

10．設n階方陣A的秩 ，n階方陣B的秩 ，則 的解空間的維數等于___________________

二、    計算題（50分）

1．  設n維向量 ，令 ，求對角矩陣 和可逆矩陣P使得

2．  設 是5維Euelid空間 的一組標準正交基， ，其中 ，求 的一組標準正交基

3．  設 ，求A的初等因子和Jordan標準矩陣

4．  設n階方陣A滿足 ，且 ，證明A相似于對角陣，并求 的值

5．  設 是n階方陣， ，求矩陣 的行列式值

三、    證明題（64分）

1．設 是 中的兩個非平凡子空間，證明：在 中存在向量 使得 ；并在 中舉例說明此結論

2．設 是n維線性空間 的一組基，對任意n個向量 ，證明：存在惟一的線性變換T使得

3．（1）設A、B為n階方陣，證明： 的充要條件是 的解均為 的解

（2）設A、B為n階方陣， ，證明對于任意可以相乘的矩陣C均有

（3）若有自然數k使得 ，則

4．設A為n階實對稱方陣，

 （1）若 ，則存在實（非負）整數r和可逆矩陣P使得

（2）記 ，給出S為 的字空間的充分必要條件，并證明你的結論

5．設實二次型 ， 是A的特征值，證明存在非零向量 使得

6．設 是三個多項式，證明：